数学归纳法课件（鲁立新）.ppt

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1、数学归纳法复习课浠水高考复读中心鲁立新有这样一个小故事：一个财主的儿子学写字，老师说：“一是一横。二是两横，三是三横，四呢——”话没说完，财主的儿子插口道：“四是四横，五是五横。”听了这话老师生气的吼道“那你写个“万”给我看下！”财主的儿子搔了搔脑袋楞着说：“老师，那我要先去叫我爸买本子。”财主的儿子错了，他事实上用到了我们经常探究事情的一种方法——不完全归纳法；这种方法虽然能发现事情的规律，但是经常容易管中窥豹，要想不犯类似财主儿子的错误，我们就要掌握另一种更科学的方法——数学归纳法。情景设置四是四横，五是五横。一是一横，二是两横，三是三横，四是－下面请同学们回看课本和资料，整理数学

2、归纳法的有关知识思考下面几个问题；并完成下面几道练习题：1、什么是数学归纳法？其原理是什么？2、数学归纳法有哪几步？各步有何作用？3、使用数学归纳法要注意哪些问题？可能出错热身练习CCB没有用到归纳假设与n=k的条件相同1.定义:2.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：3.用数学归纳法证题要注意下面几点：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法（递推基础不可少）（归纳假设要用到）（结论写明才完整）①明确首取值并验

3、明真假。②找准n=k与n=k+1的关系③在证明n=k+1时，n=k是条件，一定要用到知识概要(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时,结论也正确.(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(3)由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立。注意到这些细节，我们就可以用它来解决很多与有关正整数的命题，其一般会应用在以下几个方面：（1）恒等式（2）不等式（3）三角方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明典例选讲注意两者联系例1、用数学归纳法证明(a1+a2+‥‥an)2＝a12+a22+‥‥+2(a1a2+a1a3+‥‥+an-1a

4、n)证明（1）当n＝１时，左边＝(a1+a2)2＝a12+2a1a2+a22＝右边，所以等式成立(a1+a2+‥‥+ak)2＝a12+a22+‥‥+ak2+2(a1a2+a1a3+‥‥+ak-1ak)则n＝k+1时，左边＝[(a1+a2+‥‥+ak)+ak+1]2＝(a1+a2+‥‥+ak)2+2(a1+a2+‥‥+ak)ak+1+ak+12＝a12+a22+‥+ak2+2(a1a2+a1a3+‥+ak-1ak+2(a1+a2+‥+ak)ak+1+ak+12＝a12+a22+‥+ak2+ak+12+2(a1a2+a1a3+‥+ak-1ak+a1ak+1+a1ak+2+‥+akak+1）

5、右边＝a12+a22+‥+ak2+ak+12+2(a1a2+a1a3+‥+akak+1)左边＝右边，所以等式成立综合（1）（2）得原命题成立假设当n＝k时，命题成立，即:例2、当n≥0，n∈N时，多项式Xn+2+(x+1)2n+1能被多项式x2+x+1整除证明：当n=0时，xn+2+(x+1)+1=x0+2+(x+1)2×0+1=x2+x+1故其能被x2+x+1假设当n=k时，命题成立。即：Xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1则当n=k+1时，xn+2+(x+1)2n+1=xk+1+1+(x+1)2(k+1)+1=xxk+2+(x+1)2k+1(x+1)2=(x+1)2[xk+

6、2+(x+1)2k+1]－(x+1)2xk+2+xxk+2=(x+1)2[xk+2+(x+1)2k+1]－xk+2(x2+x+1)即n=k+1时，命题成立综合（１）（２）的原命题成立凑n=k的条件恒等变形充分利用归纳假设方法２：发现2k+3＝(k+1)+(k+2),可利用均值不等式方法１：比较两者大小，排除根号障碍可以着差小结：两个步骤，一个结论。（递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明才完整）分析n=k+1时的命题是，并找出与“n=k”时的差别，弄清左端应增减的项，明确等式左端变形目标，然后采用两头凑的思想灵活运用恒等式变形的方法，如：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等。１.归纳法

7、证题的步骤：２.证题的一般思路：练习长城好汉非君莫属谢谢