《数学归纳法》ppt课件

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1、考纲要求考纲研读1.掌握“归纳－猜想－证明”这一基本思路．2．了解数学归纳法的基本原理．3．能利用数学归纳法证明与自然数有关的命题.1.数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；2．归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；3．由k推导到k＋1时，有时可以“套”用其他证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面.第3讲数学归纳法1．运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是_____________________，第二步是______________________，两步缺一不可．2．用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学

2、命题，其中包括___________________________________________________．归纳递推(或归纳假设)恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等归纳奠基(或递推基础)1．在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证()CA．n＝1时成立B．n＝2时成立C．n＝3时成立D．n＝4时成立解析：多边形至少有三边．时，在第二步证明从n＝k到n＝k＋1成立时，左边增加的项数是()A．2kB．2k－1C．2k－1D．2k＋1A3.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形有对角线数f(n＋1)为()CA．f(n)＋

3、n＋1C．f(n)＋n－1B．f(n)＋nD．f(n)＋n－2解析：在n个顶点的基础上增加一个顶点则增加n－1条对角线．4．设平面内有n(n≥2)条直线，其中任意两条不平行，任意)三条不过同一点，则它们的交点的个数f(n)为(A．n(n＋1)B．n(n－1)D14n2－1猜想an的表达式，其结果是_________.考点1对数学归纳法的两个步骤的认识例1：已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n＝)k(k≥2且为偶数)时命题为真，则还需证明(A．n＝k＋1时命题成立B．n＝k＋2时命题成立C．n＝2k＋2时命题成立D．n＝2(k＋2)时命题成立解题思

4、路：从数学归纳法的两个步骤切入，k的下一个偶数是k＋2.解析：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k＋2.故选B.答案：B用数学归纳法证明时，要注意观察下列几个方面：(1)n的范围以及递推的起点；(2)观察首末两项的次数(或其他)，确定n＝k时命题的形式f(k)；(3)从f(k＋1)和f(k)的差异，寻找由k到k＋1递推中，左边要加(乘)上的式子．【互动探究】1．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＝1－an＋11－a(a≠1，n∈)BN*)时，在验证n＝1时，左边计算所得的式子是(A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a

5、2＋a4解析：n＝1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a，左边是1＋a.＋n＋n242．用数学归纳法证明不等式11n＋1n＋2＋…＋>113的过程中，由k推导到k＋1时，不等式左边增加的式子是___________.解析：求f(k＋1)－f(k)即可．当n＝k时，左边＝＋＋增加的式子是＋－，即11k＋1k＋2＋…＋1k＋k·n＝k＋1时，左边＝11k＋2k＋3＋…＋1(k＋1)(k＋1).故左边1112k＋12k＋2k＋11(2k＋1)(2k＋2).1(2k＋1)(2k＋2)考点2用数学归纳法证明恒等式命题解题思路：从特殊入手，探求a，b，c的值，考虑到

6、有3个未知数，先取n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切n∈N*，等式都成立．(k＋1)(k＋2)＝12[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．∴当n＝k＋1时，等式也成立．综合(1)(2)，对n∈N*等式都成立．这是一个探索性命题，“归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.对于探索命题特别有效，要求善于发现规律，敢于提出更一般的结论，最后进行严密的论证．从特殊入手，探求a，b，c的值，考虑到有3个未知数，先取n＝1,2,3，列方程组求得，然后用数学归纳法对一切n∈N*，等式都成立．【互动探究】考点3用数学归纳法证明

7、整除性命题例3：试证：当n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．【互动探究】4．求证：二项式x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，x2k－y2k能被x＋y整除，那么当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k＝x2x2k－x2y2k＋x2y2k－y2y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，显然x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对

8、任意的正整数n命题均成立．考点4用数学归纳法证明不等式命题1．用数