数学归纳法 ppt课件

《数学归纳法 ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数学归纳法（一）请问：以上四个结论正确吗？为什么?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所学校里的学生都是男同学。问题2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得a1＝1,a2＝1,a3＝1,于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。问题3：三角形的内角和为180°，四边形的内角和为2•180°，五边形的内角和为3•180°，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)•180°。问题4：数列为{1,2,4,8

2、}，则它的通项公式为an=2n-1(n≤4，n∈N)☺1、错；2、错，a5=25≠1；3、对；4、对。共同点：均用了归纳法得出结论；不同点：问题1、2、3是用的不完全归纳法，问题4是用的完全归纳法。一、概念1、归纳法：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。归纳法｛完全归纳法不完全归纳法特别注意：用不完全归纳法得出的结论不一定正确2、数学归纳法：思考题：（1）数学归纳法能证明什么样类型的命题？（2）数学归纳法有几个步骤？每一个步骤说明什么问题？（3）为什么这些步骤缺一不可？（4）数学归纳法

3、是完全归纳法还是不完全归纳法？例：由下表1＝1＝12①1＋3＝4＝22②1＋3＋5＝9＝32③1＋3＋5＋7＝16＝42④……⑤结论：1＋3＋5＋…＋（2n1）＝n2，(nN)⑥证明：（1）当n=1时，左边＝1，右边＝1⑦等式成立⑧（2）假设当n=k（kN）时，等式成立，即⑨1＋3＋5＋…＋（2k1）＝k2⑩则1＋3＋5＋…＋（2k1）+(2k+1)⑾＝k2+(2k+1)=(k+1)2⑿当n=k+1时，等式也成立⒀根据（1）（2），可知等式对任意nN都成立。⒁设命题P(n)，其中n∈N且n≥n0(1)当n=n0（譬如n0=1

4、或2等）时，证明命题P(n0)成立；(2)假设当n=k（k∈N且n≥n0）时命题P(k)成立，证明当n=k+1时命题P(k+1)也成立；根据(1)、(2)，命题P(n)对一切自然数n（n≥n0）都成立。数学归纳法的基本形式：1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就

5、没有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。由以上可知，用数学归纳法需注意：归纳法完全归纳法不完全归纳法数学归纳法可能错误，如何避免穷举法递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉知识小结例2、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n•1•3•…•(2n-1)证明：①n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2，左边=右边，等式成立。②假设当n=k((k∈N）时有：(k+1)(k+2)…(k+k)=2k•1•3•…•(2n-1

6、),当n=k+1时：左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)•=2k•1•3•…•(2k-1)(2k+1)•2=2k+1•1•3•…•(2k-1)•[2(k+1)-1]=右边，∴当n=k+1时等式也成立。由①、②可知，对一切n∈N,原等式均成立。例3、设S1=12，S2=12+22+12，S3=12+22+32+22+12，…Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+…+22+12.用数学归纳法证明：证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边==1=S1，等式成立

7、。2）假设当n=k(k∈N)时，有：Sk=12+22+…+k2+(k-1)2+…+22+12，当n=k+1时：Sk+1=12+22+…+k2+(k+1)2+k2+…+22+12=[12+22+…+k2+(k-1)2…+22+12]+(k+1)2+k2=Sk+2k2+2k+1=+2k2+2k+1=(2k3+k+6k2+6k+3)=[(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)]=(k+1)(2k2+4k+2+1)=(k+1)[2(k+1)2+1],∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N，均有。例3、设S1=12，S2=1

8、2+22+12，S3=12+22+32+22+12，…Sn=12+22+…+n2+(n-1)2+…+22+12.用数学归纳法证明：证明：1）n=1时：左边=S1=12=1，右边=