高考数学专题一平面向量、三角函数与解三角形第四讲三角函数与解三角形的综合问题限时规范训练文.docx

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1、第四讲三角函数与解三角形的综合问题1．(2019·黔东南州一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA－asinB＝0.(1)求A；(2)已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．解析：(1)∵bcosA－asinB＝0.∴由正弦定理可得：sinBcosA－sinAsinB＝0，∵sinB>0，∴cosA＝sinA，∴tanA＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.(2)∵a＝2，B＝，A＝，∴C＝，∴b＝6，∴S△ABC＝ab＝×2×6＝6.2．(2019·崇明区一模)已知函数f(x)＝cosx·sinx＋cos2x－.(1)求

2、函数f(x)的单调递增区间；(2)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝，a＝3，b＝4.求△ABC的面积．解析：(1)函数f(x)＝cosx·sinx＋cos2x－＝sin2x＋cos2x＝sin，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由f(A)＝，即sin＝，△ABC是锐角三角形，∴2A＋＝，可得A＝，余弦定理：cosA＝＝，解得：c＝2＋1或c＝2－1(舍去)，△ABC的面积S＝bcsinA＝4＋.3．(2019·涪城区校级模拟)将函数f(

3、x)＝2sin的图象沿x轴向左平移φ(其中，0<φ<π)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到偶函数g(x)的图象．(1)求g(x)的解析式；(2)若g＝，α∈(0，π)，求sinα的值．解析：(1)将函数f(x)＝2sin的图象沿x轴向左平移φ个单位长度，得y＝f(x＋φ)＝2sin的图象；再将所得的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝2sin的图象，即g(x)＝2sin；又g(x)为偶函数，则＋φ＝，解得φ＝，所以g(x)＝2cos2x.(2)由(1)知，g(x)＝2cos2x，则g＝2

4、cos＝，所以cos＝；又α∈(0，π)，所以sin＝，所以sinα＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.4.(2019·长春二模)如图，在三角形ABC中，AB＝3，∠ABC＝30°，cos∠ACB＝.(1)求AC的长；(2)作CD⊥BC，连接AD，若AD∶CD＝2∶3，求△ACD的面积．解析：(1)由sin∠ACB＝，AC＝sinB＝2.(2)cos∠ACD＝sin∠ACB＝，设CD＝3m，AD＝2m，有4m2＝4＋9m2－2·2·3m·，m＝1或m＝，当m＝1时，CD＝3，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝

5、.当m＝时，CD＝，sin∠ACD＝，S△ACD＝·AC·CDsin∠ACD＝.5．(2019·江门一模)平面四边形ABCD中，边AB＝BC＝5，CD＝8，对角线BD＝7.(1)求内角C的大小；(2)若A、B、C、D四点共圆，求边AD的长．解析：(1)在△BCD中，cosC＝＝，C＝.(2)因为A、B、C、D四点共圆，所以A＝π－C＝在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2×AB×AD×cosA，49＝25＋AD2＋5AD，解得AD＝3或AD＝－8.由于AD>0，所以AD＝3.6．(2019·泉州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b

6、，c，已知b＝5，(a＋b)sinA＝2bsin(A＋C)．(1)证明：△ABC为等腰三角形；(2)点D在边AB上，AD＝2BD，CD＝，求AB.解析：(1)证明：∵(a＋b)sinA＝2bsin(A＋C)＝2bsinB，∴由正弦定理＝，可得：a(a＋b)＝2b2，整理可得(a＋2b)(a－b)＝0，∵a＋2b>0，∴a＝b，△ABC为等腰三角形，得证．(2)设BD＝x，则AD＝2x，由余弦定理可得：cos∠CDA＝，cos∠CDB＝，∵∠CDA＝π－∠CDB，∴＝－，解得：x＝2，∴AB＝6.