资源描述：
《第10章+双线性型.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第十章双线性型对偶空间1定义:设V是数域K上n维线性空间,线性空间V*={线性映射f:VK}称为V的对偶空间.命题:设{e1,…,en}是数域K上n维线性空间V的一组基,定义线性映射fi:VK,ejδij,则{f1,…,fn}是V*的一组基,称为{e1,…,en}的对偶基.推论:dimV*=dimV.对偶空间2设映射<,>:V*×V→K,=f(x),则：(1).=0,对任意的x∈Vf=0.(2).=0,对任意的f∈V*x=0.固定f∈V*,则是V上的线性函数.固定x∈V,则<－,x>是V*上的线性函数.命题:设η:V→(V*)*,
2、x<－,x>,则η是线性空间同构,即V(V*)*.对偶空间3定义:设U,V是数域K上有限维线性空间，φ:U→V是线性映射,定义φ*:V*→U*,ffφ,则φ*是线性映射,称为φ的对偶映射.对偶空间4定理:设U,V,W是数域K上有限维线性空间,:U→V,:V→W是线性映射,则(1).<*(f),x>=,对x∈V,f∈V*.若线性映射:V*→U*满足<(f),x>=,则(2).(3).若U=V,Iv为恒等映射,则I*=Iv*为恒等映射.(4).单映射满映射.(5).满映射单映射.(6).同构同构.(7)..双线性型1定义:设U,V是数域K上有限维
3、线性空间,若映射g:U×V→K满足以下条件:(1).对任意x,y∈U,z∈V,k∈K,g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z),g(kx,z)=kg(x,z).(2).对任意x∈U,y,z∈V,k∈K,g(x,y+z)=g(x,y)+g(x,z),g(x,ky)=kg(x,y).则称g是U与V上双线性函数,也称双线性型.注1:<,>:V*×V→K是双线性型.注2:设g是双线性型,固定z∈V,则g(－,z)是U上线性函数.固定x∈U,则g(x,－)是V上线性函数.双线性型2设U,V分别是数域K上m维和n维线性空间,{e1,…,em}与{v1,…,vn}分别是U与V的基
4、,g:U×V→K是双线性型.令A=(g(ei,vj))m×n若x∈U,y∈V,设则注:取定U,V的基条件下,{U与V的双线性型}Km×n.双线性型3设g:U×V→K是双线性型,{e1,…,em}与{e1’,…,em’}是U的基,{v1,…,vn}与{v1’,…,vn’}是V的基,且(e1’,…,em’)=(e1,…,em)C(v1’,…,vn’)=(v1,…,vn)D设g在基{e1,…,em}与{v1,…,vn}下矩阵为A,在基{e1’,…,em’}与{v1’,…,vn’}下矩阵为B,则B=C’AD.因此,g在不同基下的表示矩阵是相抵的.矩阵A的秩称为g的秩.定理:设g
5、:U×V→K是双线性型,则存在U的基{e1,…,em}与V的基{v1,…,vn},使得g(ei,vj)=δij1≤i,j≤rg(ei,vj)=0其它其中r=秩(g).非退化双线性型1定义设g:U×V→K是双线性型,令L={u∈U
6、g(u,y)=0,对任意y∈V},R={v∈V
7、g(x,v)=0,对任意x∈U}.则L,R分别是U,V的子空间,分别称为g的左子空间和右子空间.注:若dimU=m,dimV=n,秩(g)=r,则dimL=m－r,dimR=n－r.非退化双线性型2定义:双线性型g:U×V→K称为非退化的,如果g的左子空间和右子空间均为零.定理:双线性型g:U×V
8、→K为非退化的dimU=dimV=秩(g)推论:双线性型g:U×V→K为非退化的g在U与V的任意基下的矩阵均是可逆阵.非退化双线性型3设g:U×V→K是非退化双线性型.固定x∈U,g(x,-)是V上线性函数,作映射φ:U→V*,xg(x,-),则φ是线性空间的同构.若将x与g(x,-)等同起来,则U成为V*,这时有<φ(x),y>=g(x,y).类似地,将V与U*等同起来,即存在线性空间同构φ:V→U*,使=g(x,y).定理:设gi:U×V→K,i=1,2,是非退化双线性型,则存在U的可逆线性变换φ与V上可逆线性变换ψ,使对所有x∈U,y∈V,有g2(
9、φ(x),y)=g1(x,y),g2(x,ψ(y))=g1(x,y).非退化双线性型4定义:设gi:U×V→K,i=1,2,是非退化双线性型,φ是V的线性变换,如果存在U上的线性变换φ*,使对任意x∈U,y∈V,有g2(φ*(x),y)=g1(x,φ(y))则称φ*是φ的关于g1和g2的对偶.定理:设gi:U×V→K,i=1,2,是非退化双线性型,φ是V上的线性变换,则φ的关于g1与g2的对偶φ*存在且唯一.
