第3节 行列式按行(列)展开.ppt

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1、行列式按行(列)展开第三节一、余子式与代数余子式2在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如345例1求四阶行列式的第一行元素的代数余子式.解678定理n阶行列式D=

2、aij

3、等于它的任意一行(列)的各元素与其对应代数余子式乘积的和,即或按第i行展开按第j列展开证略.推论:若行列式某行(列)的元素全为零,则行列式的值为零.二、行列式展开定理9例2计算四阶行列式解已算得所以10例3设11定理行列式某一行(列)的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积的和等于零,即这是因

4、为第i行第j行12同样,行列式对列展开,也有则有13三、行列式的计算计算行列式的基本方法：利用性质5将某行(列)化出尽可能多的零,再利用展开定理按该行(列)展开.例41415例5计算行列式解16每行元素的和都相等,把第二、三、四列都加到第一列,例6计算行列式解1718按第一列展开,并由上、下三角形行列式得例7计算n阶行列式解19例8计算n阶行列式解20第一列加上其余各列21第二行开始每行减去第一行22例9计算n阶行列式解按第1列展开，(1)23反复利用递推公式得：(2)由对称性，(1)式又可化为(3)联列(2)(3),解得(1)24而代入得

5、25综上所述，26例10证明范德蒙(Vandermonde)行列式27证用数学归纳法，2829n-1阶范德蒙行列式30证毕.31例如,转置32四、拉普拉斯(Laplace)定理上述展开定理还可以推广到按某k行(列)展开.在n阶行列式D=

6、aij

7、中,任意选定k行k列(1kn),位于这些行和列交叉处的k2个元素,按原来的顺序构成一个k阶行列式M,称为D的一个k阶子式；划去这k行k列,余下的元素按原来的顺序构成一个n-k阶行列式,称为M的余子式；在M前面冠以符号所得行列式称为M的代数余子式,其中i1,i2,...,ik为k阶子式M在D中的行

8、标,j1,j2,...,jk为M在D中的列标.33定理(拉普拉斯定理)在n阶行列式中,任意取定k行(列)(1kn-1),由这k行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D，即其中Ai是Mi对应的代数余子式(i=1,2,…,t).证略.34例11计算行列式解按第一行和第二行展开,35例1236例1337练习：P28习题一38