第1节多元函数的基本概念.ppt

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1、1第八章多元函数微分学8.1多元函数的基本概念8.2偏导数与高阶偏导数8.3全微分及其应用8.4多元复合函数的求导法则8.5隐函数的求导法则8.6多元函数的极值及其应用返回微积分（下册）CALCULUS第八章多元函数微分学返回第一节多元函数的基本概念第八章多元函数微分学目的要求1.了解平面区域、点的邻域、开区域与闭区域等概念2.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域重点1.二元函数的概念2.二元函数的连续性的概念3.了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭区域上连续函数的性质第一节多元函数的基本概念在一元函数的微积分中，所讨论的对象都是一元函数y=f(x)，即函数只依赖于一

2、个自变量。在数学上，这种由多个因素才能确定的变量，就是多元函数。但在很多实际问题中，往往牵涉到多方面的因素，反映到数学上，就是一个变量依赖于多个变量的情形。第一节多元函数的基本概念一元函数的定义域是在数轴上讨论，一般是一个区间（开区间、闭区间、半开半闭区间）。平面上进行讨论，二元函数z=f(x,y)的定义域在几何上表示一个平面区域。量多了一个，它的定义域很自然地要扩充到但是对于二元函数而言，由于自变一、平面区域2.1多元函数的基本概念(不包含圆周)，为半径的圆的内部d为一正数，d1、邻域（一）平面区域一、平面区域去心邻域,称为点邻域,(neighborhood)E的边界。2、区

3、域(region)(boundary)例:(pointofaccumulation)2、区域(region)的聚点.例:(pointofaccumulation)2、区域(region)的聚点.如果点集E内任意两点都能用全属于E的折线或曲线连接起来，则称E为连通的.连通的开集称为开区域，简称区域.(6)连通：(7)区域：例如，例如，区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.2、区域(region)例例为无界开区域.区域区域(8)有界与无界区域：否则称E为无界区域.为有界闭区域.2、区域(region)注：n维空间中邻域、区域等概念内点、边界点、区域等概念也可定义．邻域：2、区域(r

4、egion)导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象.同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.二、多元函数的概念在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.这些内容作为一元函数第一节多元函数的基本概念矩形面积S与长x，宽y之间关系为其中长x和宽y是两个独立的变量,例2著名的生产函数为，这里为常数，S=xy(x>0,y>0)例1矩形面积S有惟一确定值对应.当x,y的值取定后,内,在它们变化范围Q就有惟一确定的值相对应.值取定后,当K,L的Q是一个依赖于K和L的变化而变化的

5、量．Q表示产量，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，在西方经济学中，二、多元函数的概念第一节多元函数的基本概念其中称为自变量，设D为中的一个非空点集，zDyxzf记为实数z的取值范围称为值域，记为的变化范围D称为函数的定义域，量，z称为因变又记为记为f：D→R，二元函数，则称映射f为定义在D上的一确定的实数z与之对应，都有惟使得对于D中每一个有序实数对射f，若有一个映1.定义二.多元函数的概念类似地可定义三元及三元以上函数．定义域D(f)、对应法则f函数的表示法：（1）二元显函数z=f(x,y)（2）二元隐函数F(x,y,z)=0确定函数的两要素：多元函数．二.多元函数的概念2

6、.二元函数的定义域当用某个解析式表达二元函数时，凡是使解析式有意义的自变量所组成的平面点集为该二元函数的定义域，例1解所以函数的定义域为xy二元函数的定义域通常为平面区域.要使函数有意义须满足有界闭区域二.多元函数的概念(自然定义域)例2解函数的定义域为要使函数有意义须满足无界开区域2.二元函数的定义域例3解要使函数有意义,必须故所求定义域为有界闭区域2.二元函数的定义域Solution.所求定义域为例42.二元函数的定义域Solution.Solution.例5例6换元法3.二元函数的几何图形设函数z=f(x,y)的定义域为D.平面上的投影.而定义域D正是这曲面在Oxy该几何

7、图形通常是一张曲面.这个点集称为二元函数的图形.得到空间点集D上的一切点时,当(x,y)取遍确定空间一点这样,就对应的函数值为点对于任意取定的D一元函数表示xy平面上的一条曲线y=f(x)例2例13.二元函数的几何图形例4图形如右图.例3如右图，为球面.单值分支:3.二元函数的几何图形4.多元函数的定义一个自变量.两个自变量.三个自变量.n个自变量.n元函数在几何上表示n+1维空间上的一般曲面.二.多元函数的概念注意(1)多元函数也有单值函数和多值函数，如在讨论过程中通常将其拆成几个单值函数