多元函数的基本概念(新).ppt

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1、一、平面点集二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性§9.1多元函数的基本概念1一、平面点集2★平面点集：或3★邻域4★点与点集间的关系(1)内点(2)外点E的边界：(3)边界点5★聚点1.内点一定是聚点;说明：2.边界点可能是聚点，也可能不是.例(0,0)既是E边界点，也是E聚点，但不属于E．3.E的聚点可能属于E，也可能不属于E.6D◆重要的平面点集若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集EE,则称E为闭集；若集合E中任意两点都可用一完全属于E的折线相连，则称E是连通集;开区域连同它的边界一起称

2、为闭区域.连通的开集称为开区域，简称区域;。。E的边界点的全体称为E的边界,记作E;7例如，在平面上开区域闭区域8整个平面点集是开集，是最大的开域,也是最大的闭域；但非区域.o点集但非闭区域.是闭集，o9有界闭区域；无界开区域．例如，★有界集、无界集10二、多元函数的概念1.引例:圆柱体的体积三角形面积的海伦公式11类似地可定义三元及三元以上函数．点集D称为函数的定义域;数集称为函数的值域.2.二元函数的定义1213解所求定义域为14二元函数的图形通常是一张曲面.3.二元函数的图形15例如,1617三

3、、多元函数的极限1819说明：20证原结论成立．2122232425证取其值随k的不同而变化，故极限不存在．2627282930解其中，313233四、多元函数的连续性定义设n元函数定义域为D,若函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续,二元函数在点P0处连续性的表达方法:343536★闭区域上连续函数的性质在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值

4、之间的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理37★多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．3839．因此，函数在(0,0)处不连续．4041