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1、第二章经典统计学基础第一节线性代数的基本知识一、矩阵及其基本运算aij—元素。i,j—下标n=m时称为方阵。n×m个数aij所排列成的矩形数表称为一个N列的矩阵，简称矩阵，记为A矩阵的运算矩阵和矩阵相加：矩阵与数相乘：矩阵与矩阵相乘只有一个矩阵的列数等于另一矩阵的行数时才能相乘运算定律1。加法适合交换律和结合律2。矩阵乘以数具有分配律及结合律3。乘法适合结合律和对加法的分配律零阵与单位阵元素全为零的矩阵记为0，称为“零矩阵”主对角线上全为1，其余全为0的n阶单位阵称n阶单位阵转置设A为一矩阵，将其行列互换所的的矩
2、阵对转置矩阵有：[A’]’]=A[A+B]’=A’+B’[A]’=A’[AB]’=B’A’如果矩阵A满足，即这样的矩阵称为“对称矩阵”向量与向量的线性相关（1）向量：只有一行或一列的矩阵相应地称之为n维“行向量”或n维“列向量”若是r个向量,是r个数，则：是一个向量,这时b叫做的”线性组合”对于r个向量,如果个不全为零的数能使其线性组合成为零向量则称这r个向量是”线性相关”的.否则称它们是”线性无关”如果线性相关,则其中至少有一个向量可以表示成其余向量的线性组合.事实上.设,则有:（2）向量的线性相关行列式及
3、其性质用行列式求解方程组称二阶行列式，对于任意的方阵的行列式可用数学归纳得到定义。1。n阶行列式设n-1阶矩阵的行列式已定义，对于n阶矩阵的每个元素，对应于一个的矩阵，它由A除去第i行及第j列元素剩下的其余元素组成，该矩阵称为的“余子式”记为，则：行列式的值与i值无关，的代数余子式为则：。对于一个（3×3）的行列式，用第一行的元素的余子式表示时：在利用二阶行列式的定义：
4、A
5、=a11a22a33-a11a23a32-a12a21a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31行列式的性质（1）行
6、列互换，行列式不变（2）行列式一解的公因子可提出去（3）行列式中某一行是两组数的和，那么可分为两个行列式的和（4）行列式中有两行相同，行列式为零（5）行列式中两行列成比例，行列式为零（6）把一行的倍数加到另一行，行列式不变（7）对换行列式中的两行的位置，行列式反号矩阵的秩在矩阵中，任取k行k列，其交叉处元素构成的行列式称A的k阶子式。若A中有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式都等于零。则称矩阵A的秩为r。若n阶方阵A的行列式不等于零，
7、A
8、≠0，则A的秩为n，这时称为A为满秩阵。逆矩阵与分块矩阵逆矩阵对于n
9、阶矩阵A，如果有n阶矩阵B，使AB=BA=I（I为n阶单位阵）则B为A的“逆矩阵”，记A-1=B因为
10、I
11、=1，所以，
12、A
13、≠0，即矩阵如果有逆矩阵，其行列式不为零，因而A必是满秩阵。奇异矩阵A为n阶阵，若
14、A
15、=0，则A为“奇异阵”。奇异阵无逆阵。伴随矩阵设A=[aij]是n阶阵，令其中Aij为aij的代数余子式。称A*为A的“伴随矩阵”可直接证：AA*=A*A=
16、A
17、I因而，若
18、A
19、≠0，则A有逆阵，而且4．逆阵的性质：5．分块矩阵n×m矩阵A可以写成其中:若（m×n）阵B也分成小块那么只要阵A的列与B的行分
20、法一致，则分块阵的逆阵是：其中I—单位阵F=E-DB-1C四．线性方程的解法与逆矩阵的求法：1．消去法考虑方程组增广矩阵：若：a11≠0以–a21/a11乘以方程1，加到第2方程，消去x1以–a31/a11乘以方程1，加到第3方程，消去x1…以–ai1/a11乘以方程1，加到第i方程，消去x1其中：若，用同样步骤从第3个方程开始消去x2，依次进行（n-1）次，最后使增广矩阵变为：得：求得xn依次回代到方程中得xn-1～x1当上述消去法遇到a11=0时，则采用选取矩阵中绝对值最大的元素（主元素）→（主列、主行），然
21、后利用主行消去主列中其余元素的方法称主元素消去法。2．主元素消去法3．用消去法求逆矩阵主要因为消去法对右端项的多少没有限制。设：令：因为：,则有：即求解：进行消去法，直到左边矩阵A成为单位阵，这时右边原来单位阵位置上的矩阵即为求解求逆并行方案，则解增广矩阵在第l步上施行消去变换其中表示第l次消去后，原来位置上的当前阵，在n步之后增广矩阵A的位置变为单位阵，中间（n×p）为方程组的p组解，而原单位阵位置为4.求解求逆的累凑方案增广矩阵在消去第一列后变为:矩阵右边的第一列元素在后面的消去法中已不再起作用，从节省存储单
22、元考虑，左边原来的单位阵事先可以不存放，而把消去过程的列的新元素放在矩阵左边相应列内，这样新元素与其他元素一样参加其后的消去运算。这样：第l步消去第k列的计算公式为：方程组：将向量X=变换为另一向Y=我们谓之“线性变换”，矩阵：叫线性变换的矩阵。则方程组可写成Y=AX五．特征值与特征向量1．特征值与特征向量对一个线性变换及其相应矩阵A，若X=不是零向量，且，其中为一个数，
