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1、圆周角一.复习引入:1.圆心角的定义?.OBC在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等.答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.上节课我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角.(4)(1)(2)(3)(5)二、新授1、导入圆周角究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、
2、（5）中的角都不是圆周角.同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角.（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）(4)(1)(2)(3)(5)圆周角OABC顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.∠ABC是圆周角.2、圆周角定义:思考：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？结论:通过度量，我们可以得出，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系?注意：圆心角与圆周角的位置关系.●OABC●OABC●OA
3、BC（1）首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC=∠B+∠A.∵OA=OB，●OABC∴∠A=∠B.∴∠AOC=2∠B.即∠ABC=∠AOC.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?（2）当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?过点B作直径BD.由1可得:●O∴∠ABC=∠AOC.ABCD∠ABD=∠AOD,∠CB
4、D=∠COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.●ODABC过点B作直径BD.由1可得:∴∠ABC=∠AOC.∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?（3）当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.圆内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆
5、.ABC·O如图：ABCD·O12圆内接四边形的性质如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆.∵∠A所对弧为弧BCD,∠C所对的弧为弧BAD,又弧BCD与弧BAD所对的圆心角的和是周角，∴∠A+∠C==180°.同理∠B+∠D=180°.ABCD·O12这样，利用圆周角定理，我们得到关于圆内接四边形的一个性质：推论2：圆内接四边形的对角互补.探究：有关圆周角的度数（1）探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？（2）90°的圆周角所对的弦是否是直径？线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A
6、、B）,那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？半圆（或直径）所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径．BC1OC2C3·A证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB.又∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°.结论：半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）.反过来也是成立的，即90°的圆周角所
7、对的弦是圆的直径.例1如图27.1.15，AB是⊙O的直径，∠A=80°.求∠ABC的大小.解:∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角等于90°），∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-80°-90°=10°.图27.1.15例2已知：如图21-23，在⊙O中，直径AB的长为10cm，弦AC的长为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD和BD的长.解:∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，∵CD平分∠ACB，在等腰直角三角形ADB中，如果∠A=44°,则∠BO
8、C=____.如果∠BOC=44°,则∠A=____.如果∠A=35°,则∠BDC=____.OABCD练习判断：（1）等弧所对的圆周角相等.（）（2）相等的圆周角所对的弧也相等.（）（3）90°的角所对的弦是直径.（）（4）同弦所对的圆周角相等.（）√×××巩固练习小结半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周
