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1、§3.4圆周角和圆心角的关系1.圆心角的定义?.OBC答：相等.答:顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?知识回顾圆心角顶点发生变化时,我们得到几种情况?A.OBC.OBCA.OBCA...思考：三个图中的∠BAC的顶点A各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？探索一:你能仿照圆心角的定义给圆周角下个定义吗?.OBCA特征：①角的顶点在圆上.②角的两边都与圆相交.圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角.探索新知判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.不是
2、不是是不是不是图1图2图3图4图5跟踪训练为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等.在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？●O●O●OABCABCABC探索二:圆周角与圆心角的关系如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC,它们的大小有什么关系?说说你的想法,并与同伴交流.教师提示:注意圆心与圆周角的位置关系.●O●O●OABCABCABC1.首先考虑一种特殊情况：当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的一边（BC）上时,圆
3、周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.∵∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠B＋∠A.∵OA＝OB，●OABC∴∠A＝∠B.∴∠AOC＝2∠B.你能写出这个命题吗?一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?当圆心（O）在圆周角（∠ABC）的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?老师提示:能否转化为1的情况?过点B作直径BD.由1可得:●O上面的命题还成立吗?ABCD3.如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?当圆心（O）在圆周角（∠AB
4、C）的外部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?过点B作直径BD.由1可得:●ODABC老师提示:能否转化为1的情况?上面的命题还成立吗?综上所述,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系是:圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.●O●O●OABCABCABC如图1,圆中一段对着许多个圆周角,这些个角的大小有什么关系?为什么?由此你能得出什么结论?●OBCDEA图1如图2,圆中∠C＝∠G,那么的大小有什么关系?为什么?图2
5、如图2,圆中那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么?由此你能得出什么结论?用于找相等的弧圆周角定理的推论1同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.用于找相等的角当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系?●OBACBACBACBACBACBACBACDEDE实际运用例：如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∠ACB＝∠AOB∠BAC＝∠BOC∠A
6、OB＝2∠BOC∠ACB＝2∠BAC规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理.例与练1.如图,在⊙O上中,∠BOC＝50°求∠BAC的大小.2.如图,哪个角与∠BAC相等?你还能找到哪些相等的角?3、指出图中的圆周角.∠ACO∠ACB∠BCO∠OAB∠BAC∠OAC∠ABO∠CBO∠ABC1.如图（1），BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗?BCOA图(1)2.如图（2），圆周角∠BAC＝90º，弦BC经过圆心O吗？为什
7、么？●OBCA图(2)由此你能得出什么结论?探索三:圆周角与直径的关系用于判断某条弦是否是直径用于构造直角圆周角定理的推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.探索四:圆内接四边形与性质四边形ABCD四个顶点都在⊙O上,这样的四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.圆内接四边形有什么性质?如图A，B，C，D,是⊙O上的四点,AC为⊙O的直径,则∠BAD与∠BCD之间有什么关系?为什么?解析：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∠ABC＝90°∴∠BAD＋∠BCD=3
8、60°－90°－90°＝180°如图A,B,C,D,是⊙O上的四点,点C的位置发生了变化,则∠BAD与∠BCD的关系还成立吗?为什么?解析：成立连结OB,OD∵弧BAD与弧BCD所对的圆心角之和为360°∴∠BAD＋∠BCD＝180°圆内接四边形的性质:圆内接四边形对角互补如图∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角,则∠A与∠DCE的大小有什么关系?∴∠A＝∠DCE●ODABC例:如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到
