高三数学期末专题复习三角函数的图像和性质.doc

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1、高三数学期末专题复习三角函数的图像与性质例1已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的最小正周期为π，且f()＝.(1)求ω、φ的值；(2)若f()＝－(0＜α＜π)，求cos2α的值．解：(1)由函数的周期为π，可知＝π，所以ω＝2.(2分)又由f()＝，得2sin(＋φ)＝，所以cosφ＝.又φ∈(0，π)，所以φ＝.(5分)(2)(方法1)由f()＝－，得sin(α＋)＝－.(7分)因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，)．又sin(α＋)＝－＜0，所以α＋∈(π，)，所以cos(α＋)＝－.(10分)所以cos2α＝sin(＋2α)＝2sin(

2、α＋)cos(α＋)＝.(14分)(方法2)由f()＝－，得sin(α＋)＝－.(7分)因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，)．又sin(α＋)＝－＜0，所以α＋∈(π，)，所以cos(α＋)＝－.(10分)所以cosα＝cos[(α＋)－]＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin＝－.所以cos2α＝2cos2α－1＝2×(－)2－1＝.(14分)(方法3)由f()＝－，得sin(α＋)＝－.(7分)所以sinα＋cosα＝－.所以1＋sin2α＝，即sin2α＝－.(10分)因为α∈(0，π)，所以α＋∈(，)．又sin(α＋)＝－＜0，所以α＋∈(π，)，即α

3、∈(，π)，2α∈(第7页共7页，2π)．所以cos2α＝＝.(14分)例2已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的图象如图所示，直线x＝，x＝是其两条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式并写出函数的单调增区间；(2)若f(α)＝，且＜α＜，求f(＋α)的值．解：(1)由题意，＝－＝，∴T＝π.又ω＞0，故ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．(2分)由f()＝2sin(＋φ)＝2，解得φ＝2kπ－(k∈Z)．又－＜φ＜，∴φ＝－，∴f(x)＝2sin(2x－)．(5分)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，知kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴

4、函数f(x)的单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(7分)(2)解法1：依题意得2sin(2α－)＝，即sin(2α－)＝，(8分)∵＜α＜，∴0＜2α－＜.∴cos(2α－)＝＝＝，(10分)f(＋α)＝2sin[(2α－)＋]．∵sin[(2α－)＋]＝sin(2α－)cos＋cos(2α－)sin＝(＋)＝，∴f(＋α)＝.(14分)第7页共7页解法2：依题意得sin(2α－)＝，得sin2α－cos2α＝，①(9分)∵＜α＜，∴0＜2α－＜，∴cos(α－)＝＝＝，(11分)由cos(2α－)＝得sin2α＋cos2α＝.②①＋②得2sin2α＝，∴f(

5、＋α)＝.(14分)解法3：由sin(2α－)＝得sin2α－cos2α＝，(9分)两边平方得1－sin4α＝，sin4α＝，∵＜α＜，∴＜4α＜，∴cos4α＝－＝－，(11分)∴sin22α＝＝.又＜2α＜，∴sin2α＝，∴f(＋α)＝.(14分)例3已知函数f(x)＝为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.16.解：（Ⅰ）f(x)＝＝第7页共7页＝2sin(-)因为　

6、f(x)为偶函数，所以　对x∈R,f(-x)=f(x)恒成立，因此　sin（--）＝sin(-).即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),整理得　sincos(-)=0.因为　＞0，且x∈R,所以　cos（-）＝0.又因为　0＜＜π，故　-＝.所以　f(x)＝2sin(+)=2cos.由题意得　　　故　　　　f(x)=2cos2x.因为　　　（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象.　当　　　　　2kπ≤≤2kπ+π(k∈Z),即　　　　　4kπ＋≤≤x

7、≤4kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减.因此g(x)的单调递减区间为　　　　　(k∈Z)巩固练习1.已知函数f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调增区间；第7页共7页(3)当x∈时，求f(x)的值域．解：(1)f(x)＝2cosxsin－sin2x＋sinxcosx＝2cosx－sin2x＋sinxcosx＝2sinxcosx＋(cos2x－sin2x)(2分)＝sin2x＋cos2x＝2sin.(5分)∴　f(x)的最小正周期为π.(7分)(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，