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1、与导数有关的函数题的统一解题技巧分析 与导数有关的函数题是各省市检测和高考年年必考的题目，形式层出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题。许多中上水平的考生往往处理完第一问后，对第二、三问或是匆忙求导眼到手不到形成一堆烂账，或是写了一堆解答过程发现走进死胡同再出来，这样做的结果往往是得分较低，浪费时间，长此以往对科学备考的负面影响较大。究其原因，很多考生表现为不知道自己“起步”错误，具体来说就是对哪个函数求导不明确，或为什么要构造新函数F（x）和如何构造函数F（x）不明确。本文结合近两年的高考题，就解答与导数有关的区分度颇高的函数题，如何走好“动一发而系全身”的第一步，谈如
2、何构造函数F（x），给出程序化的构建模式，以达到“好的开始是成功的一半”的目的。 一、与导数有关的函数题概述 与导数有关的区分度颇高的函数题主要包括：讨论含参（一元参数或二元参数）方程根的个数与范围，含参（一元参数或二元参数）不等式的证明，求含参函数的最值或单调区间，含参（一元参数或二元参数）不等式恒成立时已知含参函数的最值或单调区间求某参数的范围，已知含参（一元参数或二元参数）方程根的个数和范围求某参数的范围等。题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本质上就是一道题。本文为使问题说明得更加方便，不妨以f（x）≥g（x）的形式来说明。 二、程序化构造函数F
3、（x）的统一模式 1.直接法：令F（x）=f（x）-g（x）。 2.化积法：若f（x）-g（x）=h（x）k（x），且h（x）≥0,令F（x）=k（x）。 3.伸缩法：若f（x）≥f1（x），则令F（x）=f1（x）-g（x），其中，f1（x）通常可由熟悉的不等式或前一问中的结论得出。 4.控元法：含参问题若已给出参数k的范围，由单调性控元、消元、消参，构建F（x）（F（x）不含参数）。 5.分离变量法：若能分离出变量k≥k（x），则令F（x）=k（x）。 三、程序化构造函数F（x）的统一模式在高考题中的运用
4、 例1（xx年高考新课标全国Ⅱ卷理科卷第21题）已知函数f（x）=ex-ln（x+m）。 （Ⅰ）设x=0是f（x）的极值点，求m,并讨论f（x）的单调性。 （Ⅱ）当m≤2时，证明f（x）>0. （Ⅰ）解：m=1.f（x）在（-1,0）上单调递减，在（0,+∞）上单调递增。（解答过程省略） （Ⅱ）证明：当m≤2,x∈（-m,+∞）时，ln（x+2）≥ln（x+m）。记F（x）=ex-ln（x+2），则F′（x）=ex-. ∵F′′（x）=ex+>0,∴F′（x）在（-2,+∞）上单调递增。 ∵F′（0
5、）=1->0,F′（-1）=-1<0,即=,x0=-ln（x0+2），∴F（x0）=-ln（x0+2）=+x0=>0. 当x∈（-2,x0）时，F′（x）<0,此时函数F（x）单调递减；当x∈（x0,+∞）时，F′（x）>0,此时函数F（x）单调递增。 ∴f（x）≥F（x）≥Fmin（x）=F（x0）>0. 小结本题是一道含参不等式的证明题，考生若不假思索地直接采用构造F（x）=左-右，则在求F′（x）=0时会走进死胡同。问题出在含参，因此应该控元，将两个变量变为一个变量，使其常态化。 例2（xx年高考山东理科卷第22题）已知函数f（x）
6、=（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线与x轴平行。 （Ⅰ）求k的值。 （Ⅱ）求f（x）的单调区间。 （Ⅲ）设g（x）=（x2+x）f′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数。证明：对任意x>0,g（x）<1+e-2. （Ⅰ）解：k=1.（解答过程省略） （Ⅱ）解：函数f（x）在（0,1）上单调递增，在（1,+∞）上单调递减。（解答过程省略） （Ⅲ）证明：g（x）=（x2+x）·=（1+x）·. 欲证g（x）<1+e-2,即证1-x（ln
7、x+1）<（1+e-2）。① 令F1（x）=1-x（lnx+1），则F（x）=-lnx-2.令F（x）=0,得lnx=-2,∴x=e-2∈（0,+∞）。 当x∈（0,e-2）时，F（x）>0,此时F1（x）单调递增；当x∈（e-2,+∞）时，F（x）<0,此时F1（x）单调递减。∴F1max（x）=F1（e-2）=1+e-2. 令F2（x）=.∵F（x）=
