与导数有关的函数题的统一解题技巧分析

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1、与导数有关的函数题的统一解题技巧分析.freel).(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性.(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)0.(Ⅰ)解:m=1.f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(解答过程省略)(Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+2)≥ln(x+m).记F(x)=ex-ln(x+2),则F′(x)=ex-.∵F′′(x)=ex+0,∴F′(x)在(-2,+∞)上单调递增.∵F′(0)=1-0,F′(-1)=-10,即=,x0=-ln(x0+2),∴F(x0)=-ln

2、(x0+2)=+x0=0.当x∈(-2,x0)时,F′(x)0,此时函数F(x)单调递减;当x∈(x0,+∞)时,F′(x)0,此时函数F(x)单调递增.∴f(x)≥F(x)≥Fmin(x)=F(x0)0.小结本题是一道含参不等式的证明题,考生若不假思索地直接采用构造F(x)=左-右,则在求F′(x)=0时会走进死胡同.问题出在含参,因此应该控元,将两个变量变为一个变量,使其常态化.例2(2012年高考山东理科卷第22题)已知函数f(x)=(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切

3、线与x轴平行.(Ⅰ)求k的值.(Ⅱ)求f(x)的单调区间.(Ⅲ)设g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x)1+e-2.(Ⅰ)解:k=1.(解答过程省略)(Ⅱ)解:函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(解答过程省略)(Ⅲ)证明:g(x)=(x2+x)·=(1+x)·.欲证g(x)1+e-2,即证1-x(lnx+1)(1+e-2).①令F1(x)=1-x(lnx+1),则F(x)=-lnx-2.令F(x)=0,得lnx=-2,∴x=e-2∈(0,+∞).当x

4、∈(0,e-2)时,F(x)0,此时F1(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,F(x)0,此时F1(x)单调递减.∴F1max(x)=F1(e-2)=1+e-2.令F2(x)=.∵F(x)==0,∴F2(x)在(0,+∞)上单调递增.∴F2(x)F2(0)=1.∴不等式①得证.∴g(x)1+e-2(x0).小结如何构造函数F(x),关键在于F′(x)=0是否易求(或易估).若直接求g(x),则g′(x)=0的求解将陷入泥潭.例3(2012年高考辽宁理科卷第21题)设f(x)=ln(x+1)++ax+b(a,b∈R,a,b为常数)

5、,曲线y=f(x)与直线y=x在(0,0)点相切.(Ⅰ)求a,b的值.(Ⅱ)证明:当0(Ⅰ)解:a=0,b=-1.(解答过程省略)(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知f(x)=ln(x+1)+-1.∵(0构造F(x)=ln(x+1)+-,则F′(x)=+-=.当x∈(0,2)时,∵x2+15x-360,∴F′(x)0.∴F(x)单调递减.∴F(x)∴ln(x+1)+.∴ln(x+1)+-1,即f(x).小结本题若直接对f(x)求导,则会在计算f′(x)=0时碰壁.原因在于对求导时,既有根式又有分式,而ln(x+1)的导数仅有分式,使得在求f′(x

6、)=0时眼到手不到.(作者单位:厦门工商旅游学校;厦门英才学校)(责任编校/周峰)《高中生》·高考网助你解答函数压轴题有一个好的开始——《利用二次求导巧解高考函数压轴题》随着课改的不断深入,导数知识考查的要求逐渐加强,现在已由前几年高考只在解决问题中起辅助作用,上升为分析与解决问题时不可缺少的工具.

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