与导数有关的函数题的统一解法-如何构造F(x)

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1、第33卷第4期2014年4月数学教学研究29与导数有关的函数题的统一解法——如何构造F(x)贺平，谢丽萍(1．厦门英才学校361022~2。厦门工商旅游学校361024)我们知道与导数有关的函数题不仅是各单调区间，已知含参(一元参数或二元参数)省市质检、高考年年必考的题目，而且形式层方程根的个数与范围时反之求某参数的范出不穷，绝大多数还是区分度颇高的压轴题．围．题目形式虽然千变万化、层出不穷，但本许多中上水平的考生往往处理完第一问后，质是一道题，本文为说明问题方便，不妨以对二、三问或是目的性不强的匆忙求导形成，(z)≥g()

2、的形式说明．“一堆烂账”、或是眼到手不到写了一堆后发2程序化构造F(x)的统一模式现走进“死胡同”再出来等等现象不一一列1)直接法：令F()一厂(z)-g(x)(左一举，结果不仅得分较低、时间浪费．长此以往，右)，或瓮O)，令F()一F1()一cF2(z)(见例2)．多考生表现为不知道自己“起步”已经错误，2)化积法：若()-g(x)一^()志()，具体的说：或对某一个函数F(z)求导目的不若^(z)≥O，令F()-k(x)(见例4)．明确、或

3、对F()的根的情况没有预判意识3)放缩法：若(z)≥^(z)，则令F(z)和预判、或也知道要构建新函数F()但为什一(z)-g(x)(其中厂1(z)通常可由熟悉么要新构造F(z)和如何构造F()不明确．的不等式或前一问中的结论得出)(见例3)．数学教育家波利亚认为：“一个有责任心4)控元法：含参问题若已给出k的范围，的教师与其穷于应付繁琐的数学内容和过量由单调性控元消参，构建F()(F()无参)的题目，还不如适当选择某些有意义但又不(见例1)．太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方5)分离变量法：若能分离变量志≥走()，面，

4、在指导学生解题过程中，提高他们的才智则令F()一忌()．与推理能力．”本文结合近年的高考题目，就3程序化构造F(x)的统一模式的效度解和导数有关的区分度颇高的函数题，如何例1(2013全国卷Ⅱ理科压轴歹已知函走好“动一发而系全身”的第一步，谈如何构数-厂()一—ln(x+)．造F(z)，给出程序化的构建模式，以达到“好(I)设m一0为=(z)的极值点，求的开始是成功的一半”的目的．m，并讨论(z)的单调性；1和导数有关的函数题概述(Ii)当m≤2时，证明，()>O．和导数有关的区分度颇高的函数题包解(I)略．括：讨论含参(一

5、元参数或二元参数)方程根(Ⅱ)因为≤2，所以·的个数与范围；含参(一元参数或二元参数)ln(x+2)≥ln(x4-)．的不等式证明、求含参函数的最值、单调区记F()：==—ln(x+2)，问；含参(一元参数或二元参数)不等式恒成F(z)一ez一，立时、已知含参函数的最值、已知含参函数的数学教学研究第33卷第4期2014年4月因为+。。)单调递减．iF'i)，一+南>0，(1lI)gi)~iX2所以ix)在(-2，+。。)单调递增．一(1+)，又因为欲证F(0)一1一去>o，g(Iz)<1+e一。F，(一1)一一1<0，甘1一

6、x(1n+1)<(1+e-2)．(*)即一，令F1(z)一1-x(1nlz+1)，F1(z)一一In一2，X0一一ln(x0+2)，令F1(z)一0，得ln一一2，所以所以x~--e∈(0，+。。)．F(0)=Co—ln(x0+2)因为F1(z)是单调递减的，所以1。一十zoF1一(z)一F(e一)一1+e一．一>0．令F2(z)一，当xE(-2，X。)时()0，F(z)单z一调递增．所以，()≥F(z)≥F(z)一F(。)>0．一希§>o，点评本题是含参不等式的

7、证明题，若所以F2(z)在(O，+∞)单调递增，F2(z)>不加思考直接采用构造F(z)一左一右，则在F2(0)一1，所以不等式(*)得证，求()一0出现死胡同，问题出在含参，因g(z)<1+e一(>O)．此应该控元，将二变量变为一变量，使之常态化，那么如何控元呢?只要通过m≤0和点评如何构造F()，关键在于()Inz的单调性即可，本题用了控元法和放缩法．一O是否易求(或易估)，若直接求g()，则例2(2012山东卷Ⅱ理科21压轴题)g(z)一0，将陷人泥潭，怎么办?要重新构已知函数厂(z)一—Inx+kik为常数造，构造的

8、标准是什么呢?应该以F，()一0，e一2．71828⋯是自然数对数的底数)，曲线Y=易求(或易估)为准，即g(z)一是器O)，构造F1(z)，(I)求k的值；F2()．(Ⅱ)求fix)的单调区间；例3