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时间:2020-02-26
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1、18.2.3正方形一、教学目的1.掌握正方形的概念、性质和判定,并会用它们进行有关的论证和计算.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别,通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.二、重点、难点1.教学重点:正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.2.教学难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用.三、例题的意图分析本节课安排了三个例题,例1是教材P111的例4,例2与例3都是补充的题目.其中例1与例2是正方
2、形性质的应用,在讲解时,应注意引导学生能正确的运用其性质.例3是正方形判定的应用,它是先判定一个四边形是矩形,再证明一组邻边,从而可以判定这个四边形是正方形.随后可以再做一组判断题,进行练习巩固(参看随堂练习1),为了活跃学生的思维,也可以将判断题改为下列问题让学生思考:①对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?②对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?⑤说“四个角相等的四边形是正方
3、形”对吗?四、课堂引入1.做一做:用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形.学生在动手做中对正方形产生感性认识,并感知正方形与矩形的关系.问题:什么样的四边形是正方形?正方形定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.指出:正方形是在平行四边形这个大前提下定义的,其定义包括了两层意:(1)有一组邻边相等的平行四边形(菱形)(2)有一个角是直角的平行四边形(矩形)2.【问题】正方形有什么性质?由正方形的定义可以得知,正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形.所以,正
4、方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.五、例习题分析例1(教材P111的例4)求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O(如图).求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△
5、DAO.例2(补充)已知:如图,正方形ABCD中,对角线的交点为O,E是OB上的一点,DG⊥AE于G,DG交OA于F.求证:OE=OF.分析:要证明OE=OF,只需证明△AEO≌△DFO,由于正方形的对角线垂直平分且相等,可以得到∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO,再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO,根据ASA可以得到这两个三角形全等,故结论可得.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠AOE=∠DOF=90°,AO=DO(正方形的对角线垂直平分且相等).又DG⊥AE,∴∠EAO+∠A
6、EO=∠EDG+∠AEO=90°.∴∠EAO=∠FDO.∴△AEO≌△DFO.∴OE=OF.例3(补充)已知:如图,四边形ABCD是正方形,分别过点A、C两点作l1∥l2,作BM⊥l1于M,DN⊥l1于N,直线MB、DN分别交l2于Q、P点.求证:四边形PQMN是正方形.分析:由已知可以证出四边形PQMN是矩形,再证△ABM≌△DAN,证出AM=DN,用同样的方法证AN=DP.即可证出MN=NP.从而得出结论.证明:∵ PN⊥l1,QM⊥l1,∴PN∥QM,∠PNM=90°.∵ PQ∥NM,∴ 四边形
7、PQMN是矩形.∵四边形ABCD是正方形∴ ∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=DC(正方形的四条边都相等,四个角都是直角).∴ ∠1+∠2=90°.又 ∠3+∠2=90°,∴ ∠1=∠3.∴△ABM≌△DAN.∴AM=DN.同理AN=DP.∴AM+AN=DN+DP即MN=PN.∴ 四边形PQMN是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).六、随堂练习1.正方形的四条边______,四个角_______,两条对角线________.2.下列说法是否正确,并说明理由.①对角线相等的菱形是正方形;()②
8、对角线互相垂直的矩形是正方形;()③对角线垂直且相等的四边形是正方形;()ABCDEF④四条边都相等的四边形是正方形;()⑤四个角相等的四边形是正方形.()1.已知:如图,四边形ABCD为正方形,E、F分别为CD、CB延长线上的点,且DE=BF.求证:∠AFE=∠AEF.4.如图,E为正方形ABCD内一点,且△EBC是等边三角形,求∠EAD与∠ECD的度数.七、课后练习1.已知:如图,点E是正方形ABCD的边CD上一点,点F是CB的延长线上一点,且DE=
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