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时间:2020-01-23
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1、南京**大学高数教研室《微积分》教学课件第五章导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程内容导航前言理论基础:中值定理一阶导数的应用二阶导数的应用数学建模:最优化模型第五章导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程前言本章我们进一步用导数来研究函数的特性,并由此解决一些实际问题。导数可应用于求各种变化率,如求变速直线运动的速度、加速度、切线的斜率,经济的边际等问题。用数学
2、解决实际问题,可统称为数学建模。最后介绍微分的概念及应用5-1理论基础:中值定理精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程拉格朗日中值定理设函数由于y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则必定在(a,b)内至少存在一点x0使得如图所示xy0bax0y=f(x)5-1理论基础:中值定理精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例1试证当x>0时,有令f(t)=ln(1
3、+t),则f(t)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理,则其中即因为所以证5-1理论基础:中值定理精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例2试证当有则y=f(x)在[a,b]是增函数。任,由于说明可用中值定理有其中由已知,故,证得f(x)在[a,b]递增。证在[a,b]存在;应用此中值定理注意(构造)什么函数在什么区间上运用。拉格朗日中值定理是导数与函数联系的桥梁。5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求
4、积分方法第7章定积分应用第8章微分方程函数单调性的判定设函数y=f(x)在[a,b]连续,(a,b)可导,那么例3判别函数的单调性解5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例4求函数的单调区间。令得,解函数的定义域为数轴上讨论,如图x-13y’y+_+在区间取代入得在区间取x=0代入得区间取代入得在得函数在和上递增;在上递减。5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分
5、应用第8章微分方程重要说明:,②解题步骤:1.求导;2.令,求驻点xi和奇点xi(y不可导的点,见下例);首先求出函数的定义域,因为要把函数的定义域讨论完,技巧是只须取一好计算的点x0,这有“投石问路”的方法技巧。①确定函数单调区间的依据为:的点)(③.数轴上以xi(驻点、奇点可统称为分界点)分区间讨论正负号,得结论。以及定义域外不讨论单调性;关于讨论一个区间上符号,5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例5确定函数的定义域为的单调区间。解由
6、于则无驻点;则x=0为奇点当x=0时不存在,(也可以是单调区间分界点)讨论得函数在递减,递增。5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程函数的极大值和极小值定义设函数y=f(x)在(a,b)有意义,,若x0附近的函数值都大于(或都小于)f(x0),则称f(x0)为函数f(x)的一个极大值(或极小值),点x0叫函数f(x)的极大值点(或极小值点)。函数的极大值和极小值统称为极值。极大值点和极小值点统称为极值点。注意:极值是局部概念---局部最大或最
7、小;一个函数在一个区间内只可能有一个最大值、一个最小值,但可能有多个极大值和极小值。5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程如何求函数的极值?如下图所示:可见,极值与函数的单调性密切联系,极值就是函数单调区间的分界点。因而可以通过求单调区间来求极值。xy0y=f(x)x1x2x3x45-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第2章导数第3章定积分第4章求导方法第5章导数应用第6章求积分方法第7章定积分应用第8章微分方程例6求函数的极值。f(x)
8、的定义域为令解得驻点讨论如图x1极大2极小y’y+_+得,当x=1时,函数有极大值f(1)=2;当x=2时,函数有极小值f(2)=1。5-2一阶导数的应用精品课程序言第1章函数第
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