导数在研究函数中的应用极值.doc

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1、导数在研究函数中的应用——极大值与极小值【学习要求】1．了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．【学习重、难点】重点：函数极值的判定与求法难点：函数极值的概念【新课导学】1．极大值与导数的关系xx1左侧x1x1右侧f′(x)f′(x)>0f′(x)＝0f′(x)<0f(x)2.极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f′(x)f′(x)<0f′(x)＝0f′(x)>0f(x)【师生互动】[课堂导入]　

2、“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山中，各个山峰的顶端，虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．那么每个山峰附近的走势如何？与导数有什么关系？探究点一　函数的极值与导数的关系问题1　如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？问题2　函数的极大值一定大于极小值吗？在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗？问题3　若某

3、点处的导数值为零，那么，此点一定是极值点吗？举例说明．思考　函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．例1　求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值．跟踪训练1　求函数f(x)＝＋3lnx的极值．探究点二　利用函数极值确定参数的值问题　已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数？例2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．跟踪训练2　设x＝1与x＝2是

4、函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．探究点三　函数极值的综合应用例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．跟踪训练3　若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．【课堂反馈】1．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的

5、________________条件．2．下列函数存在极值的是________．(填序号)①y＝；②y＝x－ex；③y＝x3＋x2＋2x－3；④y＝x3.3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为_____________．4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．【特别提醒】1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x

6、0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x0两侧f′(x)符号相反．3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.【作业设计】1．函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图象如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有________个．2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号)①导数值为0的点一定是函数的极值点；②函数的极小值一定小于它的极大值；③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值；④若f(x)在(a，b)内有极值，那

7、么f(x)在(a，b)内不是单调函数．3．函数y＝x3－3x2－9x(－2

8、调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________．(填序号)8．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________．9．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．10．求下列函数的