导数在函数的单调性,极值中的应用.doc

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1、导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b>内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x>>0，那么函数　y＝f(x>在这个区间内单调递增；如果f_′(x><0，那么函数　y＝f(x>在这个区间内单调递减；如果f_′(x>＝0，那么　f(x>在这个区间内为常数．问题探究1：若函数　f(x>在(a，b>内单调递增，那么一定有f′(x>>0吗？f′(x>>0是否是　f(x>在(a，b>内单调递增的充要条件？b5E2RGbCAP提示：函数　f(x>在(a，b>内单调递增，则f′(x>≥

2、0，f′(x>>0是　f(x>在(a，b>内单调递增的充分不必要条件．p1EanqFDPw2．函数的极值与导数(1>函数的极小值函数　y＝f(x>在点x＝a的函数值f(a>比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a>＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x><0，右侧f_′(x>>0，则点a叫做函数　y＝f(x>的极小值点，f(a>叫做函数　y＝f(x>的极小值．DXDiTa9E3d(2>函数的极大值函数　y＝f(x>在点x＝b的函数值f(b>比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b>＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_

3、′(x>>0，右侧f_′(x><0，则点b叫做函数　y＝f(x>的极大值点，f(b>叫做函数　y＝f(x>的极大值．RTCrpUDGiT极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f′(x0>＝0，则x0一定是f(x>的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x>＝x3，在x＝0时，有f′(x>＝0，但x＝0不是函数f(x>＝x3的极值点．5PCzVD7HxA二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是(　　>A．(－∞，1>　　

4、　　　　　B．(0,1>C．(1，＋∞>D．(0,2>解读：函数的定义域为{x

5、x>0}，y′＝1－<0，∴0＝x3－3x2＋3x的极值点的个数是(　　>A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3解读：f′(x>＝3x2－6x＋3＝3(x－1>2≥0，∴f(x>单调递增，∴f(x>无极值点．答案：A3．函数　f(x>＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞>上是增函数，则实数a的取值范围是(　　>A．[3，＋∞>B．[－3，＋∞>C．(－3，＋∞>D．(－∞，－3>解读：∵　f(x>＝x3＋ax－2在(1

6、，＋∞>上是增函数，∴f′(x>＝3x2＋a≥0在(1，＋∞>上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞>上恒成立．又∵在(1，＋∞>上－3x2<－3，∴a≥－3.答案：B4．(2018年山东诸城高三月考>已知函数　y＝f(x>，其导函数　y＝f7/7′(x>的图象如图所示，则y＝f(x>(　　>jLBHrnAILgA．在(－∞，0>上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞>上为减函数D．在x＝2处取极大值解读：使导函数　y＝f′(x>>0的x的取值范围为增区间；使导函数　y＝f′(x><0的x的取值范围为减区间．xHAQX7

7、4J0X答案：C5．若函数f(x>＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝(　　>A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5解读：f′(x>＝3x2＋2ax＋3，∵f(x>在x＝－3时取得极值，∴x＝－3时f′(x>＝0得a＝5.检验知符合题意．LDAYtRyKfE答案：D6．(1>函数f(x>在x＝x0处可导，则“f′(x0>＝0”是“x0是函数f(x>极值点”的________条件．Zzz6ZB2Ltk(2>函数f(x>在(a，b>上可导，则“f′(x>>0”是“f(x>在(a，b>上单调递增”的_____

8、___条件．dvzfvkwMI1(3>函数f(x>在(a，b>上可导，则“f′(x>≥0”是“f(x>在(a，b>上单调递增”的________条件．rqyn14ZNXI答案：(1>必要不充分　(2>充分不必要　(3>必要不充分三、考向指导考点1　求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1>确定函数　f(x>的定义域；(2>求　f′(x>，令f′(x>＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3>把函数　f(x>的间断点(即　f(x>的无定义点>的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数　f(

9、x>的定义区间分成若干个小区间；EmxvxOtOco(4>确定f′(x>在各个开区间内的符号，根据f′(x>的符号判定函数　f(x>在每个相应小开区间内的增减性．SixE2yXPq52．证明可导函数　f(x>在(a，b>内的单调性的步骤(1>求　f′(x>．(2