导数在函数的单调性,极值中的应用(1)

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1、导数在函数的单调性、极值中的应用一、知识梳理1．函数的单调性与导数在区间(a，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：如果f_′(x)>0，那么函数　y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f_′(x)<0，那么函数　y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果f_′(x)＝0，那么　f(x)在这个区间内为常数．问题探究1：若函数　f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是　f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数　f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)>0是　f(x)在(a，b)内单调递增的充

2、分不必要条件．2．函数的极值与导数(1)函数的极小值函数　y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f_′(x)<0，右侧f_′(x)>0，则点a叫做函数　y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数　y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数　y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近，左侧f_′(x)>0，右侧f_′(x)<0，则点b叫做函数　y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数　y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值

3、点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题探究2：若f′(x0)＝0，则x0一定是f(x)的极值点吗？提示：不一定．可导函数在一点的导数值为0是函数在这点取得极值的必要条件，而不是充分条件，如函数f(x)＝x3，在x＝0时，有f′(x)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．二、自主检测1．函数y＝x－lnx的单调减区间是(　　)A．(－∞，1)　　　　　　　B．(0,1)C．(1，＋∞)D．(0,2)解析：函数的定义域为{x

4、x>0}，y′＝1－<0，∴0

5、C．2　　　　D．3解析：f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)单调递增，∴f(x)无极值点．答案：A3．函数　f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)解析：∵　f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立．即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立．又∵在(1，＋∞)上－3x2<－3，∴a≥－3.第8页共8页答案：B4．(2012年山东诸城高三月考)已知函数　y＝f(x)，其导函数

6、　y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)(　　)A．在(－∞，0)上为减函数B．在x＝0处取极小值C．在(4，＋∞)上为减函数D．在x＝2处取极大值解析：使导函数　y＝f′(x)>0的x的取值范围为增区间；使导函数　y＝f′(x)<0的x的取值范围为减区间．答案：C5．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a＝(　　)A．2　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f(x)在x＝－3时取得极值，∴x＝－3时f′(x)＝0得a＝5.检验知符合题意．答案：D6．(1)函数f(x)在x＝x0处可导，则

7、“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)极值点”的________条件．(2)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f′(x)>0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．(3)函数f(x)在(a，b)上可导，则“f′(x)≥0”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的________条件．答案：(1)必要不充分　(2)充分不必要　(3)必要不充分三、考向指导考点1　求函数的单调区间1.求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数　f(x)的定义域；(2)求　f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实根；(3)把函数　f(x)的间

8、断点(即　f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数　f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数　f(x)在每个相应小开区间内的增减性．2．证明可导函数　f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求　f′(x)．(2)确认　f′(x)在(a，b)内的符号．(3)作出结论：　f′(x)>0时，　f(x)为增函数；　f′(x)<0时，　f(x)为减函数．第8页共8页例1(2010年全国)已知函数　f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)设a＝2，求　f(x)

9、的单调区间