15-函数逼近1.ppt

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1、函数逼近与希尔伯特矩阵切比雪夫多项式勒让德多项式正交多项式的应用函数逼近问题.求二次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2使连续函数的最佳平方逼近已知f(x)∈C[0,1],求多项式P(x)=a0+a1x+a2x2+……+anxn使得令函数逼近与希尔伯特矩阵系数矩阵被称为Hilbert矩阵令记定义6.3设f(x),g(x)∈C[a,b],ρ(x)是区间[a,b]上的权函数,若等式成立,则称f(x),g(x)在[a,b]上带权ρ(x)正交.当ρ(x)=1时,简称正交。例1验证0(x)=1,1(x

2、)=x在[–1,1]上正交,并求二次多项式2(x)使之与0(x),1(x)正交解:设2(x)=x2+a21x+a22所以,a22=-1/3a21=02/3+2a22=02a21/3=0切比雪夫多项式T0(x)=1,T1(x)=cos=x,T2(x)=cos2······Tn(x)=cos(n),·········有cos(n+1)=2coscos(n)–cos(n-1)，从而Tn+1(x)=2xTn(x)–Tn-1(x)(n≥1)所以,T0(x)=1,T1(x)=x,T2(x

3、)=2x2–1,···,Tn(x)=cos(narccos(x)),·········1.递推公式:由cos(n+1)+cos(n-1)=2coscos(n)(m≠n)所以,切比雪夫多项式在[–1,1]上带权正交2.切比雪夫多项式的正交性3.切比雪夫多项式零点n阶Chebyshev多项式:Tn=cos(n),或,Tn(x)=cos(narccosx)(k=0,1,···,n-1)取T1=cos=x即(k=0,1,···,n-1)4.切比雪夫多项式的极性Tn(x)的最高次项xn的系数为2

4、n–1所有最高次项系数为1的n次多项式中,Pn(x)=21–nTn(x)则例如tk=–1+0.2k(k=0,1,2,···,10)(k=0,1,2,···,10)P11(x)=(x–x0)(x–x1)······(x–x10)Q11(x)=(x–t0)(x–t1)······(x–t10)勒让德(Legendre)多项式1.表达式P0(x)=1,P1(x)=x(n≥1)2.正交性3.递推式4.零点分布Pn(x)的n个零点,落入区间[–1,1]中P2(x)的两个零点:P3(x)的三个零点:用正交多

5、项式作最佳平方逼近设P0(x),P1(x),···,Pn(x)为区间[a,b]上的正交多项式,即(k≠j,k,j=0,1,···,n)求P(x)=a0P0(x)+a1P1(x)+···+anPn(x)使(k=0,1,2,···,n)令记(Pk,f)=由于则有(k=0,1,2,···,n)f(x)的平方逼近构造区间[0，1]上的正交多项式P0(x)=1，P1(x)=x–1/2，P2(x)=x2–x+1/6例求二次多项式P(x)=a0+a1x+a2x2使最佳平方逼近: