泰勒公式与函数逼近

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1、实验5泰勒公式与函数逼近内容提要本实验对于函数以及它的各次泰勒公式和泰勒多项式进行演示，以使大家对于泰勒多项式对函数的逼近有一个直观的了解。实验步骤本实验讨论y=sinx的泰勒公式（实际讨论的是x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式）。泰勒公式与函数逼近首先我们知道y=sinx在x=0处的偶数阶导数为零，因此我们展开y=sinx到1阶，3阶，5阶，并储存在变量p1,p3,p5中，即分别键入后运行，可以看到输出的结果带有一个佩亚诺余项，正由于这个余项使我们无法显示这些展开式的图形，例如我们试显示P5的图形，当键入：泰勒公式与函数逼近后运行，即显示一行红色的警

2、告信息，表示无法作图，为此我们把这些泰勒公式化为正常的多项式，可利用“Normal”命令去掉余项得到泰勒多项式，再用作图命令作出泰勒多项式的图形（如图24），即键入：泰勒公式与函数逼近有了上面的准备，现在我们可在同一坐标系内显示y=sinx及它的各次泰勒多项式。这里为了加运行，我们用“Table”命令把y=sinx的直到19阶的泰勒多项式构成一个函数，然后用“PrependTo”命令把y=sinx本身加入这个函数集，并在[-，]内显示它们的图形（如图25），即键入：泰勒公式与函数逼近如图25泰勒公式与函数逼近为了分别观察泰勒多项式的变化情况，我们还可分

3、别作出y=sinx的直到19阶的泰勒多项式（如图26）即键入：泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近泰勒公式与函数逼近并运行。为使图形演示更加生动，我们还可用鼠标选定这些图形后进行动画演示（即选定这些图形后再同时按“Ctrl”和“Y”键）。最后我们再扩大显示的区间范围，以观察在偏离展开点泰勒多项式对函数的逼近情况，为此键入：泰勒公式与函数逼近通过观察泰勒多项式图形与函数图形（如图27）的重合与分离情况。可以看到在[-，]范围内y=sinx的9次泰勒多项式与函数图形几乎无差别，而在[-2，2]范围内y=sinx的各次泰勒多项式陆续与y=sinx的图象分离，

4、但其15次以及更高次的泰勒多项式仍紧靠着y=sinx而在[-3，3]范围内其15次泰勒多项式的图形也与y=sinx的图象分离。可见，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度，随着次数的提高。但对于任一确定次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。泰勒公式与函数逼近