泰勒公式及函数逼近

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1、泰勒公式的展开格式：Series[expr,{x,x0,n}]（表示在x0点展开，阶数为n），而求函数的泰勒多项式格式为：Normal[Series[expr,{x,x0,n}]]。注意：对泰勒多项式作图时可使用“Evaluate”命令把它转化为可运算的。实验三泰勒公式与函数逼近一个函数若在点的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式当很小时，有其中，称为在点处的n阶泰勒多项式；为余项。下面我们利用Mathematica计算函数的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。例1（泰勒公式的误差

2、）利用泰勒多项式近似计算。若，要求误差。解：我们根据拉格朗日余项可得，欲使，只要取即可。下面的Mathematica语句利用函数的5阶泰勒多项式来近似计算的值，并判断误差：输出结果为：输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果中可以看出，当，其误差例2（观察阶数n对误差的影响）利用函数的n阶多项式计算e的值，并求误差。（n=5,6,7,8,9,10）解：为此，我们输入Mathematica语言如下：输出结果为：从结果中可知，阶数越高，误差越小。例3（根据图形观察泰勒展开的误差）观察的各阶泰勒展开的图形。解：（1）固定，观察

3、阶数的影响。因为在处的偶数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数及它的阶泰勒多项式的图形。故输入命令如下：上述语句中的函数“PrependTo[t,Sin[x]]”是表示把函数添加到表t中。运行后得到图3-1。图3-1为了使图形比较更加生动，下面我们作出和它的某一阶泰勒多项式的同一坐标系下的比较图，并且在图中红色曲线表示函数的图形，蓝色曲线表示泰勒多项式的图形。命令如下：运行后得到了六幅图（图3-2），从图表中可以观察到泰勒多项式与函数图形的重合与分离情况，显然在范围内，第五幅图中两个函数的图形已经基本上吻合了，

4、也就是说，的9次多项式与函数几乎无差别。图3－2（2）扩大显示区间范围，以观察在偏离展开点时泰勒多项式对函数的逼近情况。显然，我们只要把上一个程序中的绘图命令中的范围由分别改到，并相应增加阶数。故输入如下命令：运行上面程序，绘出了从7阶直至17阶的泰勒多项式与的比较图（图3-3），观察图表可得，在区间范围内，的17次多项式与函数吻合得很好了。图3－3（3）固定，观察对函数逼近的影响。在下面的语句中，为了方便调用的泰勒多项式，首先定义了的泰勒展开函数tt，然后用不同的颜色在同一坐标系中画出了及的分别在处的6阶泰勒多项式的图

5、形：输出的结果如图3-4所示。图3－4从本实验我们可以得到一些结论，函数的泰勒多项式对于函数的近似程度随着阶数的提高而提高，但是对于任一确定的次数的多项式，它只在展开点附近的一个局部范围内才有较好的近似精确度。实验习题31.对重复上面的实验。2.作出函数的函数图形和泰勒展开式（选取不同的和值）图形，并将图形进行比较。