（通用版）2020版高考数学复习专题二函数与导数2.4导数及其应用（压轴题）练习理.docx

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1、2.4　导数及其应用(压轴题)命题角度1利用导数研究函数的单调性　高考真题体验·对方向1.(2016北京·18)设函数f(x)=xea-x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的单调区间.解　(1)因为f(x)=xea-x+bx,所以f'(x)=(1-x)ea-x+b.依题设,f(2)=2e+2,f'(2)=e-1,即2ea-2+2b=2e+2,-ea-2+b=e-1,解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f'(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x>0知,f'(x)

2、与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g'(x)=-1+ex-1.所以,当x∈(-∞,1)时,g'(x)<0,g(x)在区间(-∞,1)上单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)在区间(1,+∞)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-∞,+∞)上的最小值,从而g(x)>0,x∈(-∞,+∞).综上可知,f'(x)>0,x∈(-∞,+∞).故f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞).2.(2016四川·21)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>1x-e1-x在

3、区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).解　(1)f'(x)=2ax-1x=2ax2-1x(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=12a.此时,当x∈0,12a时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈12a,+∞时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=1x-1ex-1,s(x)=ex-1-x.则s'(x)=ex-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>

4、1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当01.由(1)有f12a0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a≥12时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax-1x+1x2-e1-x>x-1x+1x2-1x=x3-2x+1x2>x2-2x+1x2>0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a∈12,+∞

5、.典题演练提能·刷高分1.已知函数f(x)=13x3+x2+ax+1.(1)若曲线y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,求a的取值范围.解　(1)因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)经过点(0,1),又f'(x)=x2+2x+a,曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线的斜率为-3,所以f'(0)=a=-3,所以f'(x)=x2+2x-3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-3)-3(-3,1)1(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)增极大值减极小值增所以函数f(x)

6、的单调递增区间为(-∞,-3),(1,+∞),单调递减区间为(-3,1).(2)因为函数f(x)在区间[-2,a]上单调递增,所以f'(x)≥0.即对x∈[-2,a],只要f'(x)min≥0.因为函数f'(x)=x2+2x+a的对称轴为x=-1,当-2≤a≤-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(a),由f'(a)=a2+3a≥0,得a≥0或a≤-3,所以此种情况不成立;当a>-1时,f'(x)在[-2,a]上的最小值为f'(-1),由f'(-1)=1-2+a≥0得a≥1,综上,实数a的取值范围是[1,+∞).2.已知函数f(x)=(2-m)lnx+1x+2mx.(

7、1)当f'(1)=0时,求实数m的值及曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)讨论函数f(x)的单调性.解　(1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2mx2+(2-m)x-1x2=(mx+1)(2x-1)x2,由f'(1)=0,解得m=-1.从而f(1)=-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-1.(2)由f'(x)=(mx+1)(2x-1)x2(x>0),当m≥0时,函数y=f(x)的减区间为0,12,增区间为12,+∞.当m<0时,