微积分基本定理.pdf

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1、同步课程˙微积分基本定理微积分基本定理知识回顾一、初等函数的导数公式表yfx()yfx()ycy0nn1yx()nNynx，n为正整数1yx(0,0,Q)yx，为有理数xxya(0,aa1)yaaln1yxlog(aax0,1,0)yaxalnyxsinyxcosyxcosyxsin注：lnaalog，称为a的自然对数，其底为e，e是一个和π一样重要的无理数e2.7182818284．exx注意()ee．二、导数的四则运算

2、法则：⑴函数和（或差）的求导法则：设fx()，gx()是可导的，则(()fxgx())fx()gx()，即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数和（或差）．⑵函数积的求导法则：设fx()，gx()是可导的，则[()()]fxgxfxgx()()fxgx()()，即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[Cfx()]Cfx()，即，常数与函数之积的导数，等于常数乘以函数的导数．⑶函数的商的求导法则：

3、fx()gxfx()()fxgx()()设fx()，gx()是可导的，gx()0，则．2gx()gx()1/15同步课程˙微积分基本定理1gx()特别是当fx()1时，有．2gx()gx()知识讲解一、函数定积分设函数yfx()定义在区间[,]ab上．用分点yaxxxxxb，把区间[,]ab分为n个小区间，0121nn其长度依次为xxx，in012，，1，，．ii1iy=f(x)记为这些小区间长度的最大值，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0

4、．在每个小区间内任取一点，作和式in1Ifnxii()．Oabxi0当0时，如果和式的极限存在，我们把和式I的极限叫做函数fx()在区间[,]ab上的定nn1bb积分，记作fxdx()，即fxdx()fxlim()ii．aa0i0其中fx()叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限．fxdx()叫做被积式．此时称函数fx()在区间[,]ab上可积．二、曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，通常称为曲边梯形根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数yfx

5、()在区间[]ab，上的b定积分，即Sfxdx()．a求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间ab，中插入n1各分点，将它们等分成n个小区间xxii1，in12，，，，区间xxii1，的长度xixixi1，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限．三、求积分与求导数互为逆运算bFxdx()Fb()Fa()，即Fx()从a到b的积分等于Fx()在两端点的取值之差．a2/15同步课程

6、˙微积分基本定理四、微积分基本定理b如果Fx()fx()，且fx()在[,]ab上可积，则fxdx()()Fb()Fa，其中Fx()叫做fx()的a一个原函数．由于[()Fx]()cfx，Fx()c也是fx()的原函数，其中c为常数．b一般地，原函数在[,]ab上的改变量Fb()Fa()简记作Fx()，abb因此，微积分基本定理可以写成形式：fxdx()Fx()Fb()Fa()．aa1【例1】根据定义计算积分xdx．111【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故xdx

7、2111．12【答案】122【例2】根据定义计算积分4xdx．0212222【解析】所求定积分为圆xy4在x轴上半部的半圆的面积，故4xdxπ22π．02【答案】2π12【例3】求定积分(1(x1)xdx)．011122【解析】00(1(x1)xdx)01(x1)dxxdx，222设yx1(1)，则(x1)y1(y≥0)，12∵1(x1)dx表示以1为半径的圆的四分之一面积，01π2∴1(x1)dx．041112π2又易知xdx，因

8、此(1(x1)xdx)．0204π2【答案】4【例4】由yxcos及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．π3π2π2π【解析】可以表示为

9、cos

10、dxx22cosdxx(cos)dxxcosdxx．00π3π223/15同步课程˙微积分基本定理y1O2xπ