6-2微积分基本定理.pdf

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1、第六章定积分§6.2微积分基本定理y∫lnxdx=xlnx−x+Cxo本节将给出定积分的计算公式在变速直线运动中,已知位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有关系:s′(t)=v(t)物体在时间间隔[T,T]内经过的路程为12T2∫v(td)t=s(T2)−s(T1)T1这里s(t)是v(t)的原函数.这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性.一、变限积分与原函数设f(x)在[a,b]上可积,则对任一点x∈[a,b],x定积分F(x)=∫f(td)t称为积分上限的函数a如果上限x在区间[a,b]上任

2、意变动,则对于每一个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在[a,b]x上定义了一个函数,记为F(x).也记F(x)=∫f(xd)x.a以曲边梯形的面积为例yy=f(x)积分上限x是上限函数的自变量.F(x)x对于积分变量t来说是常数.Oaxbx定理6.1若f(x)在[a,b]上可积，x则F(x)=∫f(t)dt是[a,b]上的连续函数.（证明略）a定理6.2若f(x)在[a,b]上连续，x则F(x)=∫f(t)dt在[a,b]上可导，且F('x)=f(x)a′x⎛⎞即对任何x∈[a,b],⎜∫f(t)

3、dt⎟=f(x).⎝a⎠证:∀x,x+Δx∈[a,b,]利用积分中值定理，则有F(x+Δx)−F(x)1x+Δx=∫f(t)dt=f(ξ)ΔxΔxx(ξ介于x与x+Δx之间)F(x+Δx)−F(x)F('x)=lim=limf(ξ)=f(x)Δx→0ΔxΔx→0注：若在[a,b]之外f(x)也连续，仍有F('x)=f(x).原函数存在定理x设f(x)在[a,b]上连续，则函数F(x)=∫f(t)dta是f(x)在[a,b]上的一个原函数.设ϕ(x,)ψ(x)可导，f(x)连续，则db∫f(td)t=−f

4、(x)dxxdϕ(x)∫f(td)t=f[ϕ(x)]ϕ′(x)dxadb∫f(t)dt=−f[ψ(x)]ψ('x)dxψ(x)推论6.3设在区间I上a(x,)b(x)可导，f(x)连续，则db(x)∫f(t)dt=f[b(x)]b('x)−f[a(x)]a('x)dxa(x)dxdt1dxdt1例如∫=,∫=dx21+t44dx31+t41+x41+x2dxdt12x∫=⋅2x=.dx21+t41+(x2)41+x8d2dt1∫=−,dxx441+t1+xd2dt111∫=−⋅=−.dxx1+t41+(

5、x)42x2x+x332dxdt3x2x=−.dx∫x241281+t1+x1+x例1.求下列极限x∫f(t)(x−t)dt00洛必达法则)1(lim,f(x)连续.2x→0x0xxxx解分子=∫0f(t)xdt−∫0tf(t)dt=x∫0f(t)dt−∫0tf(t)dtxxx∫f(t)dt−∫f(t)tdt00原极限=lim2x→0xx∫f(t)dt+xf(x)−xf(x)0=limx→02xx∫0f(t)dtf(x)f)0(=lim=lim=x→02xx→022x2∫(arctant)dt∞0（2）

6、lim洛必达法则x→+∞1+x2∞x1x222解∫(arctant)dt=∫(arctant)dt+∫(arctant)dt001x2π2→+∞,(x→+∞)≥∫(arctan)1dt=()(x−)1142(arctanx)原极限=limx→+∞x21+x2221+xπ=lim(arctanx)⋅lim=.x→+∞x→+∞x4例2.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，1x且f('x)≤.0F(x)=∫f(t)dt.证明F('x)≤.0x−aaf(x)1x证F('x)=−f(t)dt.2∫x

7、−a(x−a)a由积分中值定理可知，存在ξ∈[a,x]x使得∫f(t)dt=f(ξ)(x−a)af(x)f(ξ)f(x)−f(ξ)于是F('x)=−=.x−ax−ax−a因f('x)≤0，f(x)单调减少.从而f(x)−f(ξ)≤.0故F('x)≤.0二、微积分基本定理定理6.3设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原b函数,则∫f(xd)x=F(b)−F(a)(牛顿-莱布尼兹公式)ax证:根据定理6.2,∫f(t)dt是f(x)的一个原函数,ax故存在常数C使得F(x)=∫f(t)dt+Ca

8、x令x=a,得C=F(a,)因此∫f(t)dt=F(x)−F(a)a再令x=b,得b记作bb∫f(t)dt=F(b)−F(a)[]F(x)a=F(x)aa例3.求下列定积分5b5555b4xbab−a)1(∫xdx==−=.a5555a3dx3⎛1⎞)2(∫12=arctanx1=arctan3−arctan⎜⎟31+x3⎝3⎠πππ=−=366π1π1π1)3(3dx=3dx+3dx∫πsin2xcos2x∫πsin2x∫πcos2x44