2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1.1两角和与差的余弦讲义苏教版必修4.docx

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1、3.1.1　两角和与差的余弦学习目标核心素养(教师独具)1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3.能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)通过学习本节内容提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.思考：cos(90°－30°)＝cos90°－cos30°

2、成立吗？[提示]　不成立．1．思考辨析(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(　　)(2)cos105°＝cos45°cos60°－sin45°sin60°.(　　)(3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　)(4)coscos＋sinsin＝cos2α.(　　)[解析]　正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确．[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√2．cos75°＝________；cos15°＝________.　　[cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°co

3、s45°－sin30°sin45°＝.cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin30°sin45°＝.]3．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值为________．　[cos45°cos15°＋sin15°sin45°＝cos(45°－15°)＝cos30°＝.]两角和与差余弦公式的简单应用【例1】　求下列各式的值：(1)cos40°cos70°＋cos20°cos50°；(2)；(3)cos15°＋sin15°；(4)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)．思路点拨：从所求式子

4、的形式、角的特点入手，化简求值．[解]　(1)原式＝cos40°cos70°＋sin70°sin40°＝cos(70°－40°)＝cos30°＝.(2)原式＝＝＝cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°＝.(3)∵cos60°＝，sin60°＝，∴cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.(4)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)

5、＝cos60°＝.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．提醒：要重视诱导公式在角的差异、函数名称的差异中的转化作用．1．求下各式的值(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°；(2)cos24°cos36°－sin24°cos54°.[解]　(1)cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°

6、＝.(2)原式＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝.已知三角函数值求角【例2】　已知锐角α，β满足sinα＝，cosβ＝，求α＋β的值．思路点拨：先求出cosα，sinβ，再利用两角和的余弦公式求出cos(α＋β)，最后由α＋β的范围确定α＋β的值．[解]　因为α，β为锐角，且sinα＝，cosβ＝，所以cosα＝＝＝，sinβ＝＝＝，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－×＝.由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π.因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，所以α＋β＝.已知三角函数值求

7、角，一般分三步：第一步：求角的某一三角函数值(该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数)；第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；第三步：根据角的范围写出所求的角.2．已知cosα＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．[解]　由cosα＝，0<α<，得sinα＝＝＝.由0<β<α<，得0<α－β<.又∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝＝＝.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝，∴β＝.给值求值问题[探究问题]1．角“α＋β”“β