2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦学案苏教版必修4.doc

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1、3．1.1　两角和与差的余弦　1.了解两角和与差的余弦公式的推导过程．　2.理解两角和与差的余弦公式的意义与公式结构特征．3．掌握运用两角和与差的余弦公式进行三角式的化简、求值与证明．1．两角和与差的余弦公式(1)两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．(2)两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ．[注意]　2.±α，±α的诱导公式(1)cos＝sinα，sin＝cosα．(2)cos＝－sinα，sin＝cosα．(3)cos＝－sinα，sin

2、＝－cosα．(4)cos＝sinα，sin＝－cosα．名称变化：正弦余弦，余弦正弦．符号变化：公式右边的函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.(　　)(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．(　　)(3)对任意α，β∈R，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ都成立．(　　)(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.(　　)解析：(1)错误．cos(6

3、0°－30°)＝cos30°≠cos60°－cos30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cosα－cosβ＝cos(－45°)－cos45°＝0，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ.14(3)正确．结论为两角和的余弦公式．(4)正确．cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝cos(120°－30°)＝cos90°＝0.答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√2．cos43°cos13°＋sin43°sin13°的值为(　　)A．

4、B．－C．D．－答案：C3．已知cosα＝，α∈，则cos＝________．解析：因为cosα＝，α∈，所以sinα＝＝＝.所以cos＝cosαcos－sinα·sin＝×－×＝.答案：　两角和与差的余弦公式的应用　计算下列各式的值：(1)cos；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)sin(40°－α)．【解】　(1)cos＝cos＝－cos＝－cos＝－cos＝－＝－＝－.(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos

5、200°cos280°＝－sin100°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)14＝－cos60°＝－.(3)cos(α＋20°)cos(40°－α)－sin(α＋20°)·sin(40°－α)＝cos[(α＋20°)＋(40°－α)]＝cos60°＝.两角和与差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之和或差的余弦值，利用两角和或差的余弦公式直接展开求解．(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．(3)求非特殊角的三角函数值，把非特

6、殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和或差的余弦公式求解．　　1.化简下列各式的值．(1)cos40°cos20°－cos70°cos50°；(2)cos75°＋sin75°.解：(1)cos40°cos20°－cos70°·cos50°＝cos40°cos20°－sin20°sin40°＝cos(40°＋20°)＝cos60°＝.(2)cos75°＋sin75°＝cos30°cos75°＋sin30°sin75°＝cos(30°－75°)＝cos(－45°)＝.　给值求值问题　设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.

7、【解】　因为α∈，β∈，所以α－∈，－β∈.14所以sin＝＝＝.cos＝＝＝.所以cos＝cos＝coscos－sinsin＝－×－×＝－.解答给值求值题目应注意的两点(1)拆拼角技巧先分析已知角与所求角之间的关系，再决定如何利用已知条件，避免盲目处理相关角的三角函数式，以免造成解题时不必要的麻烦，认真考虑角的整体运用，恰当运用拆角、拼角等技巧，如α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2β＝(α＋β)－(α－β)；＝＋等．(2)角的范围问题许多题都给出了角的取值范围，解题时一定要重视角的取值范围对三角

8、函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．　　2.(1)已知α，β∈，且sinα＝，cos(α＋β)＝－，求cosβ的值．(2)已知sinα＝，α∈，cosβ＝－，β∈，求cos(α－β)的值．解：(1)因为α，β∈