2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.3两角和与差的正切学案苏教版必修4.doc

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1、3．1.3　两角和与差的正切　1.了解两角和与差的正切公式的推导．　2.理解两角和与差的正切公式的意义及结构特征．3．掌握运用公式进行三角函数式的化简、求值和证明．1．两角差的正切公式T(α－β)：tan(α－β)＝.(α、β∈R且α、β、α－β2．两角和的正切公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.(α、β∈R且α、β、α＋β3．两角和的正切公式的常见变形(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；(2)1－tanαtanβ＝；(3)tanα·tanβ＝1－.1．判断(正确的打“√”，错

2、误的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．(　　)(2)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)解析：(1)正确．当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan0＋tan，但一般情况下不成立．(2)错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)．答案：(1)√　(2)×2．已知tanα＝2，则tan＝(　　)A．－3B．3C．－4D．4答案：A133.＝(　　)A．B．－C．D．－答案：A4．已知tanα＝，tan(β－α)＝，那么tan

3、(β－2α)的值为________．解析：因为β－2α＝(β－α)－α，所以tan(β－2α)＝＝＝－.答案：－　公式的正用和逆用　计算下列各式的值：(1)tan15°＋tan75°；(2).【解】　(1)tan15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝＋＝＋＝＋＝＋＝2－＋2＋＝4.(2)原式＝13＝tan(45°－15°)＝tan30°＝.公式T(α±β)的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T(α±β)中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan来代换，以达到化简求值

4、的目的，如＝tan；＝tan.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．　　1.求下列各式的值：(1)；(2).解：(1)原式＝tan(41°＋19°)＝tan60°＝.(2)原式＝tan＝tan＝.　公式的变形使用　求值：(1)tan70°－tan10°－tan70°tan10°；(2)tan＋tan＋tantan.【解】　(1)原式＝tan(70°－10°)(1＋tan70°·tan10°)－tan70°·tan10°＝(1

5、＋tan70°·tan10°)－tan70°·tan10°＝.(2)原式＝tan··＋tantan＝tan＋13tan·tan＝－tan·tan＋·tantan＝.公式tan(α＋β)＝，tan(α－β)＝可去分母变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)·(1＋tanα·tanβ)，本题就是应用此变形公式求解的．　　2.(1)tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________．(2)△ABC不是直角三角形，求证：tanA＋ta

6、nB＋tanC＝tanA·tanB·tanC．解：(1)因为tan45°＝tan(19°＋26°)＝＝1，所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝1－tan19°tan26°＋tan19°tan26°＝1.故填1.(2)证明：由题意得A＋B＋C＝π，所以tanA＝tan(π－B－C)＝－tan(B＋C)＝－，所以－tanA(1－tanBtanC)＝tanB＋tanC，所以－tanA＋tanAtanBtanC＝tanB＋tanC，所以t

7、anA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．　两角和与差的正切公式的综合应用　　(1)已知A，B是三角形ABC的两个内角，且tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，则tanC＝________．(2)在△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，试判断△ABC的形状．【解】　(1)因为tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个实根，所以tanA＋tanB＝－，13tanAtanB＝－，所以tan(A＋B)＝＝＝－2.又A＋B＋C

8、＝π，所以tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝2.故填2.(2)由tanB＋tanC＋tanBtanC＝，得tanB＋tanC＝(1－tanBtanC)．因为A，B，C为△ABC的内角，所以1－tanBtanC≠0，所以＝，即tan(B＋C)＝.因为0＜B＋C＜π，所以B＋C＝.由tanA＋tanB＋1＝tanAtanB，得(tanA＋tanB)＝－(1－tanAt