高中数学第3章三角恒等变换3.1.3两角和与差的正切学案苏教版必修4

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1、3.1.3　两角和与差的正切1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)[基础·初探]教材整理　两角和与差的正切公式阅读教材P114～P115的全部内容，完成下列问题．T(α－β)：tan(α－β)＝.T(α＋β)：tan(α＋β)＝.1．tan15°＝________；tan75°＝________.【解析】　tan15°＝tan(45°－30°)＝＝＝＝2－.tan75°＝＝＝2＋.【答案】　2－　2＋2．设α，β为锐角，且t

2、anα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.【解析】　tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝.tan(α＋β)＝＝1.【答案】　1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]条件求值问题　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan.【导学号：06460075】【精彩点拨】　2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan可以用tan2α表示出来．【自主解答】　tan2α＝tan[(α＋

3、β)＋(α－β)]＝＝＝－，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝＝＝，tan＝＝＝.求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.[再练一题]1．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.【解】　tan＝tan＝＝＝.给值求角　已知tanα，tanβ是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β.【精彩点拨】　利用根与系数的关系求tanα＋tanβ及tanαtanβ的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．【自主解答】　因为tanα，tanβ

4、是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝－3＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0.又因为α，β∈，所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0.又因为tan(α＋β)＝＝＝，所以α＋β＝－.1．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角．2．选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．[再练一题]2．已知tan(α－β)＝，tanβ＝－，且

5、α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.【解析】　由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝，所以α∈，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝＝1，而β∈，所以2α－β∈(－π，0)，故2α－β＝－.【答案】　－[探究共研型]T(α±β)公式的变形及应用探究1　你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝__________________________________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝________.tanαtanβ＝__________

6、___________________________________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝___________________________________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝________.tanαtanβ＝_____________________________________________________.【提示】　(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)t

7、anαtanβ＝1－(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)tanαtanβ＝－1探究2　结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？(1)＝________；(2)＝________.【提示】　(1)＝＝tan(2)＝＝tan　已知△ABC中，tanB＋tanC＋tanBtanC＝，且tanA＋tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．【精彩点拨】　充分结合T(α±β)的公式及变形求