高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切教学设计 苏教版必修.doc

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1、3．1.3　两角和与差的正切教学分析　　　　　由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标　　　　　1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求

2、值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点　　　　　教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排　　　　　2课时第1课时导入新课　　　　　思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式

3、呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课　　　　　1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明．教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教

4、师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝＝.如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝＝.由此推得两角和与差的正切公式，简记为T(α－β)、T(α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于＋kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与

5、学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan

6、αtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(－β)，因为tan的值不存在，所以改用诱导公式tan(－β)＝＝来处理等．例1课本本节例1.变式训练　在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，求tanC的值．解：∵tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两根，∴tanA＋tanB＝－，tanAtanB＝－

7、.∴tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝2.例2课本本节例2.变式训练　求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).例3课本本节例3.课本本节练习1、2、3、4.由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立

8、地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好