2019_2020学年高中数学第五章三角函数5.5.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式讲义新人教A版.docx

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1、第3课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式最新课程标准：二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.1.二倍角公式记法公式推导S2αsin2α＝2sin_αcos_αS(α＋β)S2αC2αcos2α＝cos2α－sin2αC(α＋β)C2αcos2α＝1－2sin2αcos2α＝2cos2α－1利用cos2α＋sin2α＝1消去sin2α或cos2αT2αtan2α＝T(α＋β)T2α　细解“倍角公式”(1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义．(2)倍角公式中的“倍角”是相对的，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如

2、6α是3α的2倍，3α是的2倍……这里蕴含着换元思想．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．(3)注意倍角公式的灵活运用，要会正用、逆用、变形用．2．二倍角公式的变形(1)升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α；1－cos2α＝2sin2α.(2)降幂公式：cos2α＝；sin2α＝.[教材解难]　(1)对于S2α和C2α，α∈R，但是在使用T2α时，要保证分母1－tan2α≠0且tanα有意义，即α≠kπ＋且α≠kπ－且α≠kπ＋(k∈Z)．当α＝kπ＋及α＝kπ－(k∈Z)时，tan2α的值不存在；当α＝

3、kπ＋(k∈Z)时，tanα的值不存在，故不能用二倍角公式求tan2α，此时可以利用诱导公式直接求tan2α.(2)一般情况下，sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.(3)倍角公式的逆用更能开拓思路，我们要熟悉这组公式的逆用，如sin3αcos3α＝sin6α.[基础自测]1．已知cosα＝－，则cos2α等于(　　)A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－解析：cos2α＝2cos2α－1＝－.答案：B2.sin15°cos15°的值等于(　　)A.B.C.D.解析：原式＝×2sin15°

4、cos15°＝×sin30°＝.答案：B3．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)A.B.C.D.解析：1－2sin222.5°＝cos45°＝.答案：B4．已知α为第三象限角，cosα＝－，则tan2α＝________.解析：因为α为第三象限角，cosα＝－，所以sinα＝－＝－，tanα＝，tan2α＝＝＝－.答案：－题型一　给值求值[教材P221例5]例1　已知sin2α＝，<α<，求sin4α，cos4α，tan4α的值．【解析】　由<α<，得<2α<π.又sin2α＝，所以cos2α＝－＝－.于是sin4α＝

5、sin[2×(2α)]＝2sin2αcos2α＝2××＝－；cos4α＝cos[2×(2α)]＝1－2sin22α＝1－2×2＝；tan4α＝＝－×＝－.已知条件给出了2α的正弦函数值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．教材反思三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin2x＝cos＝cos＝2cos2－x－1＝1－2sin

6、2；②cos2x＝sin＝sin＝2sincos.跟踪训练1　(1)已知α∈，sinα＝，则sin2α＝________，cos2α＝____________，tan2α＝____________；(2)已知sin＝，0

7、)由sinα求cosα，再利用二倍角公式求值．(2)由sin，求cos.利用二倍角求sin，再利用诱导公式求值．题型二　二倍角的正用、逆用例2　(1)若sinα＝，则cos2α＝(　　)A.B.C．－D．－(2)计算：cos20°cos40°cos80°＝________.(3)计算：＝________.【解析】　(1)cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝.(2)原式＝＝＝＝＝.(3)原式＝＝＝2.【答案】　(1)B　　(2)　(3)2(1)cos2α＝1－2sin2α.(2)构造二倍角的正弦公式，分子视为1，分子分母同时

8、乘以2sin20°.(3)运用二倍角的正切化简求值．方法归纳应用二倍角公式化简(求值)的策略(1)化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．(2)公式逆用：主要形式有2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝sin2α，