高考数学第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案.docx

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1、第一节　平面向量的概念及线性运算[考纲传真]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(5)相反向量

2、：长度相等且方向相反的向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．(6)向量平行或共线：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ>0时

9、，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线的判定定理和性质定理(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为

10、零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．3.＝x＋y(x，y为实数)，若点A，B，C共线，则x＋y＝1.4．△ABC中，＋＋＝0⇔点P为△ABC的重心．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)(2)若a∥b，b∥c，则a∥c．(　　)(3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)(4)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

11、　(4)√2．(教材改编)如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，则下列结论错误的是(　　)A．＝　　B．与共线C．与是相反向量D．＝

12、

13、D　[选项D中，＝，故D错误．]3．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[由a＋b＝0得a＝－b，根据向量共线定理知a∥b，但a∥bDa＋b＝0，故选A．]4．(教材改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)A．a＋bB．a－bC．－a－bD．

14、－a＋bD　[＝＝＝＝－a＋b，故选D．]5．(教材改编)化简：(1)(＋)＋＋＝________.(2)＋＋－＝________.(1)　(2)0　[(1)原式＝＋＋＋＝.(2)原式＝＋＝0.]平面向量的有关概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；③a＝b的充要条件是

15、a

16、＝

17、b

18、且a∥b；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的个数是(　　)A．1　　B．2　　　　C．3　　　　D．4A　[

19、①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②是正确的，因为＝，所以

20、

21、＝

22、

23、且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．③是错误的，当a∥b且方向相反时，即使

24、a

25、＝

26、b

27、，也不能得到a＝b，所以

28、a

29、＝

30、b

31、且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．④是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线．]2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝

32、a

33、a0；②若a与a0平行

34、，则a＝

35、a

36、a0；③若a与a0平行且

37、a

38、＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　)A．0B．1C．2D．3D　[向量是既有大小又有方向的量，a与

39、a

40、a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

41、a

42、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.][规律方法]　辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和