2019版高考数学复习平面向量数系的扩充与复数的引入第24讲平面向量的概念及其线性运算学案

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1、第24讲　平面向量的概念及其线性运算考纲要求考情分析命题趋势1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．2017·天津卷，132017·浙江卷，152015·全国卷Ⅰ，72015·全国卷Ⅱ，132015·北京卷，13　　平面向量的线性运算及其几何意义是高考的重点．主要以三角形或四边形为载体，考查向量的有关概念及简单运

2、算．分值：5分1．向量的有关概念名称定义备注向量既有__大小__又有__方向__的量；向量的大小叫做向量的__长度__(或称__模__)平面向量是自由向量零向量长度为__零__的向量，其方向是任意的记作！！！　0　###单位向量长度等于__1个单位__的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向__相同__或__相反__的非零向量共线向量__方向相同或相反__的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量__平行__或共线相等向量长度__相等__且方向__相同__的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度__相等

3、__且方向__相反__的向量0的相反向量为02．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量的和运算__三角形__法则__平行四边形__法则(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)　数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

4、λa

5、＝

6、λ

7、

8、a

9、；(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向__相同__；当λ<0时，λa的方向与a的方向__相反__；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a

10、＝！！！　λa＋μa　###；λ(a＋b)＝！！！　λa＋λb　###3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得！！！　b＝λa　###.4．必会结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即＋＋…＋An－1An＝.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．(2)若点P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．(3)若A，B，C是平面内不共线的三点，则＋＋＝0⇔点P为△ABC的重心．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×

11、”)．(1)单位向量只与模有关，与方向无关．(　√　)(2)零向量的模等于0，没有方向．(　×　)(3)若两个向量共线，则其方向必定相同．(　×　)(4)＋＝0.(　√　)解析　(1)正确．由定义知模为1的向量叫单位向量，与方向无关．(2)错误．零向量的方向是任意的．(3)错误．可能相同，也可能相反，若有零向量，则两向量方向不定．(4)正确.＋＝－＝0.2．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　D　)A．共线　　　B．不共线C．共线且同向　　　D．不一定共线解析　可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B

12、，C选项都不正确，故D项正确．3．点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　A　)A．－＋　　　B．－－C．－　　　D．＋解析　如图，由于D是AB的中点，所以＝＋＝＋＝－＋.4．化简－＋－的结果为！！！　　###.解析　－＋－＝(＋)＋(－)＝＋＝.5．已知a与－b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ的值为！！！　－　###.解析　∵a＋λb与－(b－3a)共线，∴存在实数μ，使a＋λb＝μ(3a－b)，即∴一　平面向量的概念平面向量概念中的几点注意(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行

13、也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a的单位向量是.【例1】(1)给出下列命题：①若

14、a

15、＝

16、b

17、，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是

18、a

19、＝

20、b

21、且a∥b.其中正确命题的序号是(　A　)A．②③　　　B．①②　　　C．③④　　　D．①④(2)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一

22、定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为(　C　)A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4解析　(1)①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵＝，∴

23、

24、＝

25、

26、且∥.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；