2018-2019学年高中数学第一章坐标系四柱坐标系与球坐标系简介高效演练新人教A版选修4-4.doc

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1、四、柱坐标系与球坐标系简介A级　基础巩固一、选择题1．空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面Oyz内的是(　　)A.　　　　B.C.D.解析：由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面Oyz内．答案：A2．若点M的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)A．(－6，2，4)B．(6，2，4)C．(－6，－2，4)D．(－6，2，－4)解析：由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4)．答案：A3．设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为(　　)A

2、．(2，0，2)B．(2，π，2)C．(，0，2)D．(，π，2)解析：设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，所以ρ＝＝2，tanθ＝＝0，所以θ＝0，z＝2，所以点M的柱坐标为(2，0，2)．答案：A4．在空间直角坐标系中的点M(x，y，z)，若它的柱坐标为，则它的球坐标为(　　)A.B.C.D.解析：因为M点的柱坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)．所以x＝3cos＝，y＝3sin＝，z＝3，所以M点的直角坐标为.设点M的球坐标为(γ，φ，θ)．γ是球面的半径，φ为向量OM在xOy面上投影到x正方向夹角，θ为向量O

3、M与z轴正方向夹角．所以r＝＝3，容易知道φ＝，同时结合点M的直角坐标为，可知cosθ＝＝＝，所以θ＝，所以M点的球坐标为.答案：B二、填空题5．空间点P的柱坐标为，则点P关于z轴的对称点为________．答案：6．已知点M的球坐标为，则它的直角坐标为_______，它的柱坐标是________．答案：(－2，2，2)　7．已知在柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则

4、OM

5、＝________，

6、MN

7、＝________．解析：设点M在平面Oxy上的射影为P，连接PN，则PN为线段MN在平面Ox

8、y上的射影．因为MN⊥直线Oy，MP⊥平面Oxy，所以PN⊥直线Oy.所以

9、OP

10、＝ρ＝2，

11、PN

12、＝＝1，所以

13、OM

14、＝＝＝3.在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，所以

15、MN

16、＝＝＝.答案：3　8．已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________．解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincos＝－2，y＝4sinsin＝2，z＝4cos＝2，所以点M的直角坐标为(－2，2，2)．故点M到Oz轴的距离为＝2.答案：2三、解答题9.用两平行面去截球，如图，在两个截面圆上有两个

17、点，它们的球坐标分别为A、B，求出这两个截面间的距离．解：在△OO1A中，由球坐标知∠AOO1＝，

18、OA

19、＝8，所以

20、OO1

21、＝8cos∠AOO1＝8×＝4，同理在△OO2B中，

22、OB

23、＝8，∠O2OB＝，所以

24、OO2

25、＝4，所以

26、O1O2

27、＝8，所以两个截面间的距离为8.10．设地球的半径为R，在球坐标系中，点A的坐标为(R，45°，70°)，点B的坐标为(R，45°，160°)，求A，B两点间的球面距离．解：设纬度圈的圆心为O′，地球球心为O，如图，OA＝OB＝R，由点A，B的球坐标可知，∠BOO′＝45°，∠AO

28、O′＝45°，这两个点都在北纬90°－45°＝45°圈上．则∠xOQ＝70°，∠xOH＝160°，所以∠AO′B＝160°－70°＝90°.因为OB＝R，O′B＝O′A＝R，所以AB＝R.则AO＝BO＝AB＝R.所以∠AOB＝60°，＝·2πR＝πR.即A，B两点间的球面距离为πR.[B级　能力提升]1．点M的球坐标为(r，φ，θ)，φ，θ∈(0，π)，则其关于点(0，0，0)的对称点的球坐标为________．答案：(r，π－φ，π＋θ)2．以地球中心为坐标原点，地球赤道平面为Oxy坐标面，由原点指向北极点的连线方向

29、为z轴正向，本初子午线所在平面为Ozx坐标面，如图所示，若某地在西经60°，南纬45°，地球的半径为R，则该地的球坐标可表示为________．解析：由球坐标的定义可知，该地的球坐标为.答案：3．在柱坐标系中，求满足围成的几何体的体积．解：根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴、轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，所以V＝Sh＝πr2h＝2π.