高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介学案新人教选修

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1、四　柱坐标系与球坐标系简介1．借助具体实例了解柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法．2．与空间直角坐标系中刻画点的位置方法相比较，体会它们的区别与联系．1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________(z∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作_______

2、_，其中________________________．(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为__________【做一做1－1】设点P的直角坐标为(1,1,3)，则它的柱坐标是__________．【做一做1－2】柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是________．2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz，设P是空间任意一点，连接OP，记

3、OP

4、＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角θ.这样点P的位置就可以用有序数组__

5、______表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作__________，其中______________________．(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换关系为______________在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r，φ，θ)的方位角，－φ称为高低角．【做一做2】已知点M的球坐标为(4，，)，则它的直角坐标是______，它的柱坐标是______．答案：1．(1)(

6、ρ，θ，z)　P(ρ，θ，z)　ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞(2)【做一做1－1】　(，，3)【做一做1－2】　以Oz轴所在直线为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆柱侧面2．(1)(r，φ，θ)　P(r，φ，θ)　r≥0，0≤φ≤π，0≤θ＜2π(2)【做一做2】　(－2,2,2)　(2，，2)1．空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系的联系和区别剖析：它们都是三维的坐标，球坐标与柱坐标都是在空间直角坐标基础上建立的．在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它们是从长度、方向来描述一个点的位置，

7、需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.空间直角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就惟一地确定了一个有序数组x，y，z.这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标(如图所示)．坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx面上的

8、点，y＝0；如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果M是原点，则x＝y＝z＝0等．几种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．2．建立空间坐标系的方法剖析：我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等．坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化．不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．有些图

9、形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．题型一直角坐标与柱坐标的互化【例1】设点M的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标．分析：把直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式求出ρ，θ即可．反思：由直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也

10、可以利用ρ2＝x2＋y2求ρ，利用tanθ＝求θ，在求θ时，要特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．题型二直角坐标与球