2018-2019学年高中数学第一讲不等式和绝对值不等式复习课学案新人教A版选修4-5.doc

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1、第一讲不等式和绝对值不等式复　习　课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．不等式性质的两个易错点．(1)忽略不等式乘法中“大于0”这一条件．(2)求相关式子的取值范围时，常常因变形不等价导致错误．2．应用基本不等式求最值的三个注意点．(1)“一正”：各项或各因数都是正数．(2)“二定”：积(或和)为定值．(3)“三等”：等号成立的条件．3．绝对值不等式的两个注意点．(1)解绝对值不等式、关键是应用绝对值定义或绝对值的性质去掉绝对值符号．(2)在应用零点分段法分类讨论时，要注意做到分类标准统一，分类方法既不重复又不遗漏，在应用平方法时，要

2、注意同解变形．专题一　基本不等式的应用在用基本不等式求最值时，“正数”“相等”等条件往往容易从题设中获得或验证，而“定值”则需要一定的技巧和方法．常用的方法有“加－项、减－项”“配系数”“拆项法”“1的代换”等．[例1]　已知x＞1，求函数y＝的最小值．解：y＝＝＝≥1，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立，所以当x＝2时，y有最小值，最小值为1.归纳升华1．利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，“一正”是指各项均为正数；“二定”就是若积为定值则和有最小值，若和为定值则积有最大值；“三相等”就是必须验证等号成立的条件，若等

3、号不在给定的区间内，通常利用函数的单调性求最值．2．基本不等式的功能在于“和”与“积”的相互转化，使用基本不等式求最值时，给定的形式不一定能直接适合基本不等式，往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑和或积为定值的形式)，构造出基本不等式的形式再进行求解．[变式训练]　已知a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.证明：因为a＞b＞c＞d，所以a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，a－d>0，所以(a－d)＝·[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3·3＝9.所以＋＋≥.专题二　绝对值三角不等式的应用绝对值三角不等式指的是

4、

5、a

6、－

7、b

8、

9、≤

10、a±b

11、≤

12、

13、a

14、＋

15、b

16、.这是一类特殊的不等式，它反映的是实数和与差的绝对值与绝对值的和差之间的关系，常用于解决最值问题、不等式恒成立问题及不等式的证明．[例2]　求函数y＝

17、x－2

18、＋

19、x＋5

20、的最小值．解：y＝

21、x－2

22、＋

23、x＋5

24、≥

25、(x－2)－(x＋5)

26、＝7.当且仅当(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2时等号成立，故函数的最小值为7.归纳升华绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握，如下面的式子：

27、a

28、－

29、b

30、≤

31、

32、a

33、－

34、b

35、

36、≤

37、a＋b

38、≤

39、a＋b

40、.我们较为常用的形式是

41、a

42、－

43、b

44、≤

45、a＋b

46、≤

47、

48、a

49、＋

50、b

51、，但不要认为只能如此，事实上，

52、a＋b

53、是不小于

54、a

55、－

56、b

57、的．[变式训练]　设函数f(x)＝

58、x－t

59、＋(t≠0)，若m＝2，是否存在实数x，使得f(x)＝成立，说明理由．解：函数f(x)＝

60、x－t

61、＋≥＝＝

62、t

63、＋≥2.因为m＝2，所以＝1＜2.所以满足条件的实数x不存在．专题三　绝对值不等式的解法解不等式的基本思想是转化、化归，不等式的性质是实现“转化”的基本依据，高次不等式、分式不等式、绝对值不等式、含有字母系数的不等式等，一般都转化为最简单的一元一次不等式(组)或一元二次不等式(组)来求解.而解绝对值不等式的关键是

64、去绝对值，去绝对值的常用方法有：(1)几何意义，(2)两端平方，(3)零点分段法，(4)绝对值定义.[例❸]　(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝

65、x＋1

66、－

67、x－2

68、.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解：(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x

69、x≥1}.(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤

70、x＋1

71、－

72、x－2

73、－x2＋x.而

74、

75、x＋1

76、－

77、x－2

78、－x2＋x≤

79、x

80、＋1＋

81、x

82、－2－x2＋

83、x

84、＝－＋≤，且当x＝时，

85、x＋1

86、－

87、x－2

88、－x2＋x＝，故m的取值范围为.归纳升华对于形如

89、x－a

90、＋

91、x－b

92、≥c，

93、x－a

94、＋

95、x－b

96、≤c的不等式，可用零点分段法求解，其操作方法是，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解.[变式训练]　解不等式

97、x＋2

98、＋

99、1－x

100、＜x＋4.解：原不等式为

101、x＋2

102、＋

103、x－1

104、

105、＜x＋4.所以可把全体实数分为三部分：x＜－2，－2≤x＜1，x≥1.于是原不等式的解集是下面三个不等式组的解集的并集：(1)得解集为∅.(2)得－1＜x＜1.(3)得1≤x＜3.所以原不等式