2018_2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式复习课学案新人教A版选修

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1、第一讲不等式和绝对值不等式复习课学习目标　1.梳理本讲的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对基本不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值三角不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值三角不等式的应用.4.会解绝对值不等式．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋

2、c＞b＋c.(4)可乘性：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.(5)乘方：如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．(6)开方：如果a＞b＞0，那么＞(n∈N，n≥2)．3．基本不等式(1)定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时，等号成立)．(2)定理2：如果a，b＞0，那么≥(当且仅当a＝b时，等号成立)．(3)引理：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．(4)定理3：如果a，b，

3、c∈R＋，那么≥(当且仅当a＝b＝c时，等号成立)．(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立；(6)在应用基本不等式求最值时一定要注意考虑是否满足“一正，二定，三相等”的要求．4．绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式，或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法12(1)根据绝对值的定义．(2)分区间讨论(零点分段法)．(3)图象法．5．绝对值三角不等式(1)

4、a

5、的几何意义表示数轴上

6、的点到原点的距离，

7、a－b

8、的几何意义表示数轴上两点间的距离．(2)

9、a＋b

10、≤

11、a

12、＋

13、b

14、(a，b∈R，ab≥0时等号成立)．(3)

15、a－c

16、≤

17、a－b

18、＋

19、b－c

20、(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)．(4)

21、

22、a

23、－

24、b

25、

26、≤

27、a＋b

28、≤

29、a

30、＋

31、b

32、(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)．(5)

33、

34、a

35、－

36、b

37、

38、≤

39、a－b

40、≤

41、a

42、＋

43、b

44、(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0).类型一　不等

45、式的基本性质的应用例1　“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的(　　)A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案　A解析　易得当a＞b且c＞d时，必有a＋c＞b＋d.若a＋c＞b＋d，则可能有a＞b且c＞d.反思与感悟　利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想．跟踪训练1　如果a∈R，且a2＋a＜0，那么a，a2，－a，－a2的大小关系是(　　)A．a2＞a＞－a2＞－aB．－a＞a2＞

46、－a2＞aC．－a＞a2＞a＞－a2D．a2＞－a＞a＞－a2答案　B解析　由a2＋a＜0知，a≠0，故有a＜－a2＜0,0＜a2＜－a.故选B.类型二　基本不等式及其应用12例2　已知a＞b＞c＞d，求证：＋＋≥.证明　∵a＞b＞c＞d，∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0，∴(a－d)＝·[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3·3＝9.∴＋＋≥.反思与感悟　不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式．跟踪训练2　设a

47、，b，c均为正数，证明：(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋c2)≥16abc.证明　(ab＋a＋b＋1)·(ab＋ac＋bc＋c2)＝(b＋1)(a＋1)(b＋c)(a＋c)≥2·2·2·2＝16abc，∴所证不等式成立．例3　若x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．答案　3解析　由x－2y＋3z＝0，得y＝，则＝≥＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”．反思与感悟　利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)和为定值时，积有最大值；(2)积为定值时，和有最小值，在具

48、体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3　当0＜x＜时，函数f(x)＝的最小值为(　　)A．2B．2C．4D．412答案　C解析　f(x)＝＝＋.∵x∈，∴cosx＞0，sinx＞0.故f(x)＝＋≥2＝4，当且仅当cosx＝2sinx＞0时，等号成立．故选C.类型三　含绝对值的不等式的解法例4　解下列关于x的不等式．(1)

49、x＋1

50、＞

51、x－3

52、；(2)

53、x－2

54、－

55、2x＋5

56、＞2x.解　(1)方法一　

57、x＋1

58、＞

59、x－3

60、，两边平方得