2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学案新人教A版选修2-2.doc

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1、2.3　数学归纳法　1.了解数学归纳法的原理.　2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.　数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0（n0∈N*）时命题成立；（2）（归纳递推）假设n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法Ｗ.1.数学归纳法是一种直接证明的方法，一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明.但并不是

2、所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决.2.第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1.3.步骤（2）是数学归纳法证明命题的关键.归纳假设“当n＝k（k≥n0，k∈N*）时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立.而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）与正整数n有关的数学命题的证

3、明只能用数学归纳法.（　　）（2）数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.（　　）（3）数学归纳法的两个步骤缺一不可.（　　）答案：（1）×　（2）×　（3）√用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于（n－2）π”时，归纳奠基中n0的取值应为（　　）A.1B.2C.3D.4解析：选C.根据凸n边形至少有3条边，知n≥3，故n0的取值应为3.用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋（n＋3）＝（n∈N*）时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是（　　）A.1B.1＋2C.1＋2＋3D.1＋2＋3＋4答案：D用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1）第

4、一步要证明的不等式是　　　　　　，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了　　　　　　项.解析：当n＝2时，1＋＋<2.当n＝k时到第2k－1项，而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，所以2k＋1－1－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k.答案：1＋＋<2　2k探究点1　用数学归纳法证明等式　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n（3n＋1）＝n（n＋1）2，其中n∈N*.【证明】　（1）当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立.（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋

5、k（3k＋1）＝k（k＋1）2，那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k（3k＋1）＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝k（k＋1）2＋（k＋1）[3（k＋1）＋1]＝（k＋1）（k2＋4k＋4）＝（k＋1）[（k＋1）＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立.根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N*都成立.用数学归纳法证明等式的方法　　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝.证明：（1）当n＝1时，＝成立.（2）假设当n＝k时等式成立即有＋＋…＋＝，那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝，即当n＝k＋1时等式也成立.由（1）（2）可得对于任意的n∈N*等

6、式都成立.探究点2　用数学归纳法证明不等式　求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.【证明】　（1）当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，故左边＞右边，不等式成立.（2）假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时不等式成立，即＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋＞＋.（*）法一：（分析法）下面证（*）式≥，即＋＋－≥0，只需证（3k＋2）（3k＋3）＋（3k＋1）（3k＋3）＋（3k＋1）（3k＋2）－3（3k＋1）（3k＋2）≥0，只需证（9k2＋15k＋6）＋（9k2＋12k＋3）＋（9k2＋9k＋2）－（27k2＋27k＋6）≥0，只需证9k＋

7、5≥0，显然成立.所以当n＝k＋1时，不等式也成立.法二：（放缩法）（*）式＞＋＝，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.由（1）（2）可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点　　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋＜1－（n≥2，n∈N*）.证明：（1）当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.因为＜，所以不等式成立.（2）假设n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即＋＋＋…＋＜1－，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＜1－＋＝1－＝1－＜1－＝1－，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都

8、成立.探究点3　归纳——猜想——证明　已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an（n∈N*