高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法2学案含解析新人教A版选修.doc

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1、2.3　数学归纳法(二)[学习目标]1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．[知识链接]1．数学归纳法的两个步骤有何关系？答案　使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据．2．用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？答案　与正整数n有关的命题[预习导引]1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳

2、法进行严格证明．2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n＝k到n＝k＋1必须用上归纳假设．要点一　用数学归纳法证明不等式问题例1　用数学归纳法证明：＋＋＋…＋<1－(n≥2，n∈N*)．证明　(1)当n＝2时，左式＝＝，右式＝1－＝.因为<，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即＋＋＋…＋<1－，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋<1－＋＝1－＝1－<1－＝1－，所以当n＝k＋1时，不等式也

3、成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．规律方法　用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式．跟踪演练1　用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式…>成立．证明　(1)当n＝2时，左＝1＋＝，右＝，左>右，∴不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2且k∈N*)时，不等式成立，即…>，那么当n＝k＋1时，…>·＝＝>＝＝，∴n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立．要点二　用数学归纳法证明整除性问题例2　用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)

4、·3n＋9能被36整除．证明　①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k(k∈N*)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n∈N*，f(n)能被36整除．规律方法　应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、

5、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相对变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．跟踪演练2　用数学归纳法证明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．证明　(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*，且k≥1)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被

6、7整除．由(1)，(2)知命题成立．要点三　用数学归纳法证明几何问题例3　用数学归纳法证明凸n边形的对角线有n(n－3)条．证明　①当n＝3时，n(n－3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时结论正确，即凸k边形的对角线有k(k－3)条，当n＝k＋1时，凸(k＋1)边形是在k边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为Ak＋1，增加的对角线是顶点Ak＋1与不相邻顶点的连线再加上原k边形一边A1Ak，共增加了对角线的条数为k－2＋1＝k－1.∴f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k

7、＋1)[(k＋1)－3]故当n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n≥3，n∈N*，命题成立．规律方法　用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n＝k到n＝k＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f(k＋1)－f(k)得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明．跟踪演练3　平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f(n)＝.证明　(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝×2×(2－1)

8、＝1，∴当n＝2时，命题