2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法练习新人教A版选修2-2.doc

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1、2.3数学归纳法[A　基础达标]1.用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝（a≠1，n∈N*）”，在验证n＝1成立时，左边的项是（　　）A.1　　　　　　　　　　　B.1＋aC.1＋a＋a2D.1＋a＋a2＋a3解析：选C.因为左边式子中a的最高指数是n＋1，所以当n＝1时，a的最高指数为2，根据左边式子的规律可得，当n＝1时，左边＝1＋a＋a2.2.用数学归纳法证明n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2（n∈N*）时，若记f（n）＝n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（

2、3n－2），则f（k＋1）－f（k）等于（　　）A.3k－1B.3k＋1C.8kD.9k解析：选C.因为f（k）＝k＋（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2），f（k＋1）＝（k＋1）＋（k＋2）＋…＋（3k－2）＋（3k－1）＋3k＋（3k＋1），则f（k＋1）－f（k）＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k.3.用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（　　）A.假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确（k∈N*）B.假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时

3、正确（k∈N*）C.假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确（k∈N*）D.假设n≤k（k≥1）时正确，再推n＝k＋2时正确（k∈N*）解析：选B.n∈N*且为奇数，由假设n＝2k－1（k∈N*）时成立推证出n＝2k＋1（k∈N*）时成立，就完成了归纳递推.4.用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≤n时，从n＝k到n＝k＋1不等式左边增添的项数是（　　）A.kB.2k－1C.2kD.2k＋1解析：选C.当n＝k时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k－1项；当n＝k＋1时，不等式左边为＋＋＋…＋，共有2k＋1

4、－1项，所以增添的项数为2k＋1－2k＝2k.5.对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学应用数学归纳法的证明过程如下：（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立.（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1.那么当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立.根据（1）和（2），可知对于任何n∈N*，不等式均成立.则上述证法（　　）A.过程全部正确B.n＝1验得不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的证明过程不正确解析：选D.此同学从n＝k到n＝k＋1的

5、证明过程中没有应用归纳假设.6.用数学归纳法证明“设f（n）＝1＋＋＋…＋，则n＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝nf（n）（n∈N*，n≥2）”时，第一步要证的式子是　　　　　　Ｗ.解析：因为n≥2，所以n0＝2.观察等式左边最后一项，将n0＝2代入等式，可得2＋f（1）＝2f（2）.答案：2＋f（1）＝2f（2）7.用数学归纳法证明＋＋…＋＞－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是　　　　Ｗ.解析：观察不等式左边的分母可知，由n＝k到n＝k＋1左边多出了这一项

6、.答案：＋＋…＋＋＞－8.对任意n∈N*，34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝　　　　Ｗ.解析：当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.答案：59.证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋（n∈N*）.证明：①当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立.②假设当n＝k（k∈N*且k≥1）时等式成立.即1－＋…＋－＝＋＋…＋.则当n＝k＋1时，左边＝1－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋，所以当n＝k＋

7、1时等式也成立，由①②知，对一切n∈N*等式都成立.10.已知数列{an}中，a1＝5，Sn－1＝an（n≥2且n∈N*）.（1）求a2，a3，a4并由此猜想an的表达式；（2）用数学归纳法证明{an}的通项公式.解：（1）a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝20.猜想：an＝5×2n－2（n≥2，n∈N*）（2）证明：①当n＝2时，a2＝5×22－2＝5成立.②假设当n＝k（k≥2且k∈N*）时猜想成立，即ak＝5×2k－2，则n＝k＋1时，ak＋1

8、＝Sk＝a1＋a2＋…＋ak＝5＋5＋10＋…＋5×2k－2＝5＋＝5×2k－1.故当n＝k＋1时，猜想也成立.由①②可知，对n≥2且n∈N*，都有an＝5×2n－2.于是数列{an}的通项公式为an＝[B　能力提升]11.已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋对一切n∈N*都成立，那么a，b的值为（　　）A.a＝，b＝B.a＝b＝C.a＝0，b＝D.a＝，b＝解析：选A.法一：特值验证法，将各选项中a，b的值代入原式，令n＝1，2验证，易知选A.