2019届高考数学二轮复习专题一函数第5讲函数的综合应用学案.doc

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1、第5讲　函数的综合应用1.函数是高中数学的主线，历年高考中，占的比分比较大，常常和导数知识结合进行综合考查，所以需要熟练掌握常见的函数模型．如二次函数、三次函数、指数和对数函数、简单的分式函数等．2.函数中的单调性问题、最值问题、恒成立问题、存在性问题、零点问题等是常见的题目题型，其中数形结合、分类讨论思想会在其中充分展现．1.(2018·如东中学)函数y＝()x2的值域是________．答案：(0，1]解析：因为x2≥0，所以≤1，即值域是(0，1]．2.(2018·通大附中)已知(0.71.3)m＜(1.30.

2、7)m，则实数m的取值范围是________．　答案：(0，＋∞)解析：因为0.71.3＜0.70＝1＝1.30＜1.30.7，所以0.71.3＜1.30.7，所以m＞0.3.(2018·苏州暑假测试)已知函数f(x)＝x2＋abx＋a＋2b.若f(0)＝4，则f(1)的最大值是________．答案：7解析：由f(0)＝4得a＋2b＝4，即a＝4－2b.而f(1)＝1＋ab＋4＝5＋ab＝5＋2b(2－b)≤7(当且仅当b＝1，a＝2时取等号)．4.(2018·宝鸡模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最

3、大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案：20解析：设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以矩形面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.,　　　　　　　　　　　　一)函数性质的综合应用,　　　　1)已知函数f(x)＝4x－2x，实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，设a＝2s＋2t，b＝2s＋t.(1)当函数f(x)的定义域为[－1，1]时，求f(x)的值域；(2)求函数关系式b＝g(a

4、)，并求函数g(a)的定义域；(3)求8s＋8t的取值范围．解：(1)若x∈[－1，1]，令m＝2x∈[，2]，f(x)＝l(m)＝m2－m＝(m－)2－在[，2]上为增函数，f(x)min＝l(m)min＝l()＝－，f(x)max＝l(m)max＝l(2)＝2，所以f(x)的值域为[－，2]．(2)实数s，t满足f(s)＋f(t)＝0，则4s－2s＋4t－2t＝0，则(2s＋2t)2－2×2s＋t－(2s＋2t)＝0，而a＝2s＋2t，b＝2s＋t，所以a2－2b－a＝0，b＝g(a)＝(a2－a)．由题意得b>

5、0，a>0，则(a2－a)>0，所以a>1.又2s＋2t≥2×()2，即a≥，所以a≤2，当且仅当s＝t时取得等号．综上所述，g(a)的定义域为(1，2]．(3)8s＋8t＝(2s＋2t)(4s－2s×2t＋4t)＝a(a2－3b)＝a(a2－a2＋a)＝－a3＋a2，a∈(1，2]．令h(a)＝－a3＋a2，a∈(1，2]，h′(a)＝－＋3a＝－a(a－2)≥0在(1，2]上恒成立，所以h(a)在(1，2]上单调递增，h(a)∈(1，2]，所以8s＋8t∈(1，2]．(2018·苏州暑假测试)设f(x)是定义在R

6、上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x，若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f2(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．答案：解析：(解法1：利用解析式)当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(x)＝2

7、x

8、，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)，得2

9、x＋a

10、≥(2

11、x

12、)2，即

13、x＋a

14、≥

15、2x

16、对于x∈[a，a＋2]恒成立，即(3x＋a)(x－a)≤0对于x∈[a，a＋2]恒成立，即解得a≤－.(解法2：偶函数的性质)当x≥0时，定义在R上的偶函数f(x)＝2x，易得f(

17、x)＝2

18、x

19、，x∈R，易证f2(x)＝f(2x)，x∈R.由f(x＋a)≥f2(x)得

20、x＋a

21、≥

22、2x

23、对于x∈[a，a＋2]恒成立，下同解法1.,　　　　　　　　　　　　二)函数的实际应用,　　　　2)(2017·常州期末)某辆汽车以xkm/h的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为(x－k＋)L，其中k为常数，且60≤k≤100.(1)若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过9L，求x的取值范围；

24、(2)求该汽车行驶100km的油耗的最小值．解：(1)由题意，当x＝120时，(x－k＋)＝11.5，所以k＝100.由(x－100＋)≤9，得x2－145x＋4500≤0，所以45≤x≤100.因为60≤x≤120，所以x的取值范围是[60，100]．(2)设该汽车行驶100km的油耗为yL，则y＝·(x－k＋)＝20－＋(60≤x≤120)