2019届高考数学二轮复习专题一函数第4讲函数的零点问题学案.doc

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1、第4讲　函数的零点问题1.函数的零点问题是高考的重点和难点内容，由于它和函数、方程有着密切的联系，所以需要我们熟悉函数的图象与性质，理解函数与方程等思想．2.在使用函数零点存在性定理时要注意两点：一是当函数值在一个区间上不变号时，无论这个函数单调性如何，这个函数在这个区间上都不会有零点；二是此定理只能判断函数在一个区间上是否存在零点，而不能判断在这个区间上零点的个数．1.函数f(x)＝lgx＋的零点是__________．答案：解析：因为lgx＋＝0，所以lgx＝－，所以x＝10－＝.2.(2018·汇龙中学)函数f(x)

2、＝2x－－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是________．答案：(0，3)解析：因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f(1)·f(2)＝(0－a)(3－a)＜0，解得0＜a＜3.3.(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)已知函数f(x)＝其中m＞0，若函数y＝f(f(x))－1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是________．答案：(0，1)解析：令f(f(x))＝1，得f(x)＝或f(x)＝m－1＜0，进一步得x＝或x＝m－＜0或x＝.因为已知m＞0，所以只要m＜

3、1即可，即得0＜m＜1.4.(2018·南京师大附中)已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3，3b＝2，则n的值是________．答案：－1解析：依题意得a>1，00，f(－1)·f(0)<0.又f(x)在R上单调递增，所以x0∈(－1，0)，n＝－1.,　　　　　　　　　　　　一)确定零点所在的区间,　　　　1)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx.若f′(1)＝－a，3a>2c>2b，试问：导函数f′(x)

4、在区间(0，2)内是否有零点？并说明理由．解：因为f′(x)＝ax2＋bx＋c，f′(1)＝－a，所以a＋b＋c＝－a，即3a＋2b＋2c＝0.因为3a>2c>2b，所以3a>0，2b<0，即a>0，b<0.　于是f′(1)＝－a<0，f′(0)＝c，f′(2)＝4a＋2b＋c＝4a－(3a＋2c)＋c＝a－c，①当c>0时，因为f′(0)＝c>0，f′(1)＝－a<0，则f′(x)在区间(0，1)内至少有一个零点．②当c≤0时，因为f′(1)＝－a<0，f′(2)＝a－c>0，则f′(x)在区间(1，2)内至少有一个零点

5、．故导函数f′(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．点评：确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.证

6、明：令g(x)＝f(x)－x＝x3－x2－＋，因为g(0)＝，g()＝－，所以g(0)·g()<0.又函数g(x)在(0，)上是连续曲线，所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.,　　　　　　　　　　　　二)求零点的个数,　　　　2)设函数g(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，且g(1)＝－.(1)求证：函数g(x)有两个零点；(2)讨论函数g(x)在区间(0，2)内的零点个数．(1)证明：因为g(1)＝a＋b＋c＝－，所以3a＋2b＋2c＝0.所以c＝－a－b，所以g(x)＝ax2＋bx－a－b，所

7、以Δ＝(2a＋b)2＋2a2.因为a＞0，所以Δ＞0恒成立．故函数g(x)有两个零点．(2)解：根据g(0)＝c，g(2)＝4a＋2b＋c，由(1)知3a＋2b＋2c＝0，所以g(2)＝a－c.①当c＞0时，有g(0)＞0，因为a＞0，所以g(1)＝－＜0，所以函数g(x)在区间(0，1)内有一个零点，所以函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．②当c≤0时，g(1)＜0，g(0)＝c≤0，g(2)＝a－c＞0，所以函数g(x)在区间(1，2)内有一个零点．综上所述，函数g(x)在区间(0，2)内至少有一个零点．点评

8、：判断函数零点个数的方法：(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性