2019届高考数学二轮复习 专题一 函数 第3讲 分段函数与绝对值函数学案

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1、第3讲　分段函数与绝对值函数1.分段函数和绝对值函数是高考的重点考查内容，主要考查分类讨论思想及基本初等函数的性质，关键弄清楚为什么要分类，需要分几类，如何分，做到不重不漏．2.涉及的题型主要有：一是明确在各个分段上的函数解析式，然后对各个分段进行讨论；二是结合函数图象，将函数分成几个部分，然后寻求解题方法．1.设函数f(x)＝则f(f(2))＝________．答案：－解析：f(2)＝，则f(f(2))＝f＝－.2.(2017·盐城模考)已知函数f(x)＝若f(0)＝3，则f(a)＝________

2、．答案：9解析：因为f(0)＝3，所以a－2＝3，即a＝5，所以f(a)＝f(5)＝9.3.(2018·启东中学)已知函数f(x)＝x

3、x

4、，若f(x0)＝4，则x0＝________．解析：当x≥0时，f(x)＝x2，f(x0)＝4，即x＝4，解得x0＝2.当x<0时，f(x)＝－x2，f(x0)＝4，即－x＝4，无解，所以x0＝2.4.(2018·苏锡常镇调研一)已知函数f(x)＝(e是自然对数的底)．若函数y＝f(x)的最小值是4，则实数a的取值范围是________．答案：[e＋4，＋∞)解析

5、：在x≥1时，f(x)min＝f(2)＝4.所以当x<1时，a－ex≥4恒成立．转化为a≥ex＋4对x<1时恒成立．因为ex＋4在(－∞，1)上的值域为(4，e＋4)，所以a≥e＋4.,　　　　　　　　　　　　一)绝对值函数的图象与性质,　　　　1)已知函数f(x)＝x

6、x－2

7、.(1)写出f(x)的单调区间；(2)解不等式f(x)<3；(3)设a>0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解：(1)f(x)＝x

8、x－2

9、＝所以f(x)的单调增区间是(－∞，1]和[2，＋∞)，单调减区间是[1，2]．(2

10、)因为x

11、x－2

12、<3⇔或解得2≤x＜3或x＜2，所以不等式f(x)<3的解集为{x

13、x<3}．(3)①当0＜a＜1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；②当1≤a≤2时，f(x)在[0，1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③当a＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a2－2a－1>0，解得a>1＋.(ⅰ)当2

14、(1)＝1；(ⅱ)当a>1＋时，此时f(a)>f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．综上，当01＋时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．点评：对于绝对值函数可以转化为与它等价的分段函数，然后结合函数的单调区间和图象，对于每一段上的函数进行研究，得出相应的结论，最终将各段得出的结论进行综合，就可以得到问题的解．若函数f(x)＝x2－a

15、x－1

16、在[

17、0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．解：f(x)＝x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2－ax＋a＝＋a－，x∈(－∞，1)时，f(x)＝x2＋ax－a＝－a－.①当>1，即a>2时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，不合题意；②当0≤≤1，即0≤a≤2时，符合题意；③当<0，即a<0时，不符合题意．综上，实数a的取值范围是[0，2]．,　　　　　　　　　　　　二)分段函数的图象与性质,　　　　2)已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增

18、，求实数a的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．于是当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知所以1

19、以f(x)＝(2)画出f(x)的图象，如图所示．,　　　　　　　　　　　　三)与绝对值函数有关的恒成立问题,　　　　3)已知函数f(x)＝x

20、x－a

21、＋2x.求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f(x)的图象恒在函数g(x)＝2x＋1图象的下方．解：由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f(x)

22、x－a

23、<，－