2019版高考数学二轮复习第1篇专题8函数与导数第4讲大题考法--导数的综合应用学案.doc

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1、第4讲　大题考法——导数的综合应用考向一　导数的简单应用问题【典例】(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)＝＋n，g(x)＝x2(m，n，a∈R)，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1．(1)求实数m，n的值及函数f(x)的最大值；(2)当a∈时，记函数g(x)的最小值为b，求b的取值范围．解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，因f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x－1，所以解得：m＝1，n＝0，所以f(x)＝，故f′(x)＝，令f′(x)＝0

2、，得x＝e，当0＜x＜e时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x＞e时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝．(2)∵g(x)＝xlnx－－x，∴g′(x)＝lnx－ax＝x，∵－e＜a＜，∴f＝－e＜a，f(e)＝＞a，所以存在t∈，g′(t)＝0，即lnt＝at，当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为b＝tlnt－t2－t＝－t，令b＝－t＝h(t)，因为h′(t)＝＜0

3、，所以h(t)在单调递减，从而h(t)∈，即b的取值范围是．[技法总结]　求函数y＝f(x)在某个区间上极值的步骤[变式提升]1．(2018·玉溪模拟)已知函数f(x)＝xlnx．(1)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，讨论函数g(x)的单调性；(2)若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．解　(1)∵f(x)＝xlnx，∴g(x)＝f(x)－a(x－1)＝xlnx－a(x－1)，则g′(x)＝lnx＋1－a，由g′(x)＜0，得lnx＋1－a＜0，解得0＜x＜

4、ea－1；由g′(x)＞0，得lnx＋1－a＞0，解得x＞ea－1．∴g(x)在(0，ea－1)上单调递减，在(ea－1，＋∞)上单调递增．(2)设切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x0lnx0，切线的斜率为lnx0＋1，∴切线l的方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1)(x－x0)，又切线l过点(0，－1)，∴－1－x0lnx0＝(lnx0＋1)(0－x0)，即－1－x0lnx0＝－x0lnx0－x0，解得x0＝1，y0＝0，∴直线l的方程为y＝x－1．考向二　函数与导数的零点或方程的根的问题【典例】已知函

5、数f(x)＝(x＋a)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜1时，试确定函数g(x)＝f(x－a)－x2的零点个数，并说明理由．[规范解答]　(1)因为f(x)＝(x＋a)ex，x∈R，所以f′(x)＝(x＋a＋1)ex.1分令f′(x)＝0，得x＝－a－1.2分当x变化时，f′(x)和f(x)的变化情况如下：x(－∞，－a－1)－a－1(－a－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗3分故f(x)的单调递减区间为(－∞，－a－1)，单调递增区间为(－a－1，＋

6、∞).4分(2)结论：当a＜1时，函数g(x)有且仅有一个零点．5分理由如下：由g(x)＝f(x－a)－x2＝0，得方程xex－a＝x2，显然x＝0为此方程的一个实数解，所以x＝0是函数g(x)的一个零点.6分当x≠0时，方程可化简为ex－a＝x.设函数F(x)＝ex－a－x，7分则F′(x)＝ex－a－1，令F′(x)＝0，得x＝a，当x变化时，F′(x)和F(x)的变化情况如下：x(－∞，a)a(a，＋∞)F′(x)－0＋F(x)↘极小值↗8分即F(x)的单调递增区间为(a，＋∞)，单调递减区间为(－∞，

7、a).9分所以F(x)min＝F(a)＝1－a.10分因为a＜1，所以F(x)min＝F(a)＝1－a＞0，所以对于任意x∈R，F(x)＞0，11分因此方程ex－a＝x无实数解．所以当x≠0时，函数g(x)不存在零点．综上，函数g(x)有且仅有一个零点.12分①对函数f(x)求导计算错而导致解题错误．②对于函数零点个数的判断，不会转化构造函数而无从下手．③在判断方程ex－a＝x(x≠0)无零点时不会构造转化，利用单调性及最值做出判断．[技法总结]　判断函数零点个数的常用方法(1)直接研究函数，求出极值以及最值

8、，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．(2)分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．[变式提升]2．(2018·锦州联考)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f