2019版高考数学二轮复习 第1篇 专题8 函数与导数 第3讲 小题考法——导数的简单应用学案

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1、第3讲　小题考法——导数的简单应用一、主干知识要记牢1．导数公式及运算法则(1)基本导数公式：①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1(m∈Q)；③(sinx)′＝cosx；④(cosx)′＝－sinx；⑤(ax)′＝axlna(a>0且a≠1)；⑥(ex)′＝ex；⑦(logax)′＝(a>0且a≠1)；⑧(lnx)′＝．(2)导数的四则运算：①(u±v)′＝u′±v′；②(uv)′＝u′v＋uv′；③′＝(v≠0)．2．导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)

2、在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点处函数值中的“最小者”．二、二级结论要用好1．常用乘式与除式的求导(1)[xnf(x)]′＝nxn－1f(x)＋xnf′(x)；(2)′＝；(3)[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]；(4)′＝．2．不等式恒成立(或有解)问题的常用结论(1)恒成立问题a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max；a≥f(x)恒成立⇔

3、a≥f(x)max；af(x)有解⇔a＞f(x)min；a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min；a

4、x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0.增函数亦然．4．求曲线的切线方程时，要注意题目条件中的已知点是否为切点．考点一　导数的几何意义1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)在点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，

5、列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．利用切线(或方程)与其他曲线的关系求参数已知过某点的切线方程(斜率)或其与某线平行、垂直，利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的关系构建方程(组)或函数求解．1．(2018·延安一模)已知函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值为(　D　)A．B．1C．D．2解析　因为切线方程为y＝x＋，则直线的斜率k＝，根据导数的几何意义得f′(1)＝，所以f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2，故选D．2．(2018·绵阳三诊)若曲线y＝lnx＋1的一条切线是y＝a

6、x＋b，则4a＋eb的最小值是(　C　)A．2B．2C．4D．4解析　设切点为(m，lnm＋1)，f′(x)＝，f′(m)＝，故切线方程为y－(lnm＋1)＝(x－m)，即y＝x＋lnm，所以a＝，b＝lnm,4a＋eb＝＋m≥2＝4.故选C．3．(2018·烟台二模)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝lnx＋a相切，则实数a的值是__2＋ln_2__．解析　y＝lnx＋a求导得：y′＝，设切点是(x0，lnx0＋a)，则y′＝＝2，故x0＝，lnx0＝－ln2，切点是代入直线得：2×＋ln2－a＋1＝0，解得a＝2＋ln2．考点二　利用导数研究函数的单调性利用导数研

7、究函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)求方程f′(x)＝0在定义域内的所有实数根；(4)将函数f(x)的间断点(即f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间；(5)确定f′(x)在各小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性．1．(2018·山西统考)已知函数f(x)＝e－x－2x－a，若曲线y＝x3＋x＋1(x∈[－1,1])上存在点(x0，y0)使得f(y0)＝y0，则实数a的取值范围是(　B　)A．(－∞，e－3－9]∪[e＋3，＋∞)B．[e－3－9，e＋3]C．(e－