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1、切线与割线斜率关系的深度探析1•问题提出文【1】得出了如下的结论：设y=/（x）是定义在（d,b）上的可导函数，曲线C:y=/（X）.上任意两个不同点的连线（称为割线）斜率的収值区间为P,曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围为0,则PuQ，而且Q中元索比P中元素至多多了区间P的端点值.并指出，求解
2、/（西）-门无）2
3、州-兀2的恒成立问题，可将、/（"）7（兀2）转化为X,-x2.厂（X）,用导数法求解•设用导数法求得参数取值区间为Q,然后再检验区间D的端点值是否符合题意.例如,已^f（x）=2x2+-+21nx（x>0）,对于任意两个不等的正数xpx2,恒
4、有X
5、.厂（州）-厂（兀2）
6、>
7、州-勺
8、，求兄的取值范围（以川2006高考题变式）.1122【解】设g（x）=fx）=4x——+—,^z（x）=4+———7，依条件XX'X型上迪>1,由lg©）l>l得2□A十32£X>1,以丄替换兀，则有
9、2x3-Ax2+4>1刁一兀2对任意x>0恒成立.%1当250吋，显然成立：%1当2>0U寸，令/?(x)=2x3-Ax2+4(x>0),hx)=6x2-2Ax,h'(x)=0^>x=—.3X2（亍+8）hx)—0+力（兀）min22?••・加兀)斷=加5)=一方+4・若/?(x)inin<0,则
10、/7(x)
11、ini
12、n=0,此时
13、2x3-/Ix2+4
14、>1对任意X>0不能恒成立,必有方（％>°，此时恥）仁=力（叽=免34,依条件启27+4>1<27nOv/lv—么+4〉027综上得A<3V3.下面检验端占八、、
15、厂（州）-厂（兀2）
16、>
17、西一兀2否符合题意.当入=3也时3诉>1o3兀宀+丑+花>3也5兀
18、兀2+西+勺<3^3恒成立.由T'3%jX7H—>3XjX9H—/=3兀［兀：H—/H—/n3-^3(为=——"兀1兀2~7%I%2'VX1X2JXlX2'3时取等号)，故入=3迥符合题意，因而2=3叭.反思上述解法，总感到美中不足•因为在检验九=3也是否符合题意时得另起
19、炉灶，检验过程不轻松，几不容易想到.那么是否有一种融解答与检验为一体的导数解法呢？要四答这个问题，关键得弄清如下实质问题：何吋曲线的割线斜率取值范围等于切线斜率的取值范围，即P=Q2何时P02,Kg比P多了区间P的端点值？这些端点值究竟是何值？曲线上与这些端点值对应点的位置在哪里？2.结论构建定理设y=/(x)是定义在连通开区间/(/cR)上的二阶可导断数，其对应Illi线C上任意两点的连线斜率的取值集合为P,曲线C上任意一点处的切线斜率取值集合为Q,则(i)PuO；(2)当曲线C不存在拐点时，P=Q；(3)P00O曲线上存在这样的拐点，使得平行于该拐点处切线的
20、任意直线与曲线C至多有一个交点；(4)在(3)的前提下，设所有这样的拐点处的切线斜率组成的集合为S,则BqP=S•引理1函数y=/(X)在(a,b)内二阶可导,则曲线y=f(x)在(a,b)内上凸(或下凸)的«VXG(6Z,/?),厂⑴W0(或》0),仇在@,b)的任何了区间上厂⑴不,恒为0.引理2曲线的向上凸为向下凸部分的分界点称为该曲线的拐点.若y=/(x)在一个连通开区间I上二阶可导，则(勺,/(召)))为曲线y=/(%)拐点的必要条件是厂任0)=0.下面给出定理的证明.(1)V%px2gI,设x,21、由拉格朗口屮值定理可得，在开区间⑺劝内至少存在一点§，使广©=•心)-心)，故PuQ.(2)由于曲线C不存在拐点，故曲线C的凸性确定.不妨设下凸.设/是1111线C的任意一条切线，则C必在/的上方，将/向上平移很小一段距离至直线加，则加必与C交于两个不同的点E,F,割线£F的斜率等于/的斜率，故QuP,但由(1)知PuQ,故P=Q.(3)—方面，因曲线C存在这样的拐点，使平行于该拐点处切线的任意直线与C至多有一个交点，故曲线C上任意两点的连线斜率都不等于该拐点处切线的斜率，・・・P0Q,充分性得证.另一方面，由于P0Q,故但令Illi线在点(x0,/(x0))处
22、的切线为/,其斜率为若(兀()Jg))不是拐点，则必存在开区间/()cZ,使得xog/(),且Illi线在/()上凸性确定.由(2)的证明知，Illi线在上必存在某两点的割线斜率等于R,故kwP与眩P才盾，故(x()J(兀()))一定是拐点，乂k/P,故Illi线C不存在与/平行的割线，也即平行于拐点(心,/(兀。))处切线的任意直线与Illi线至多有一个交点.必要性得证.(4)由(3)的证明易知结论成立.由定理知，对于二阶可导曲线C:y=/(x),有①当且仅当曲线C不存在拐点，或对曲线C的每一个拐点，都存在平行于该拐点处切线的直线与Illi线C至少有两个交点时
23、，P=Q.②可导曲线C的
