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1、中学数学杂志2010年第11期ZHONGXUESHUXUEZAZHI切线与割线斜率关系的深度探析江苏南通高等师范学校226100曹军1问题提出13h(x)min>0,此时
2、h(x)
3、min=h(x)min=-+笔者在文[1]得出如下结论:27设y=f(x)是定义在开区间(a,b)上的可导函-13+4>1273数,曲线C:y=f(x)上任意不同两点的连线(称为4,由题意,解得0<<33;13割线)斜率的取值区间为P,曲线C上任意一点处的-+4>027切线斜率的取值区间为Q,则QP,而且Q
4、中元素3由∀得<33.比P中元素至多多了区间P的端点值.3下面检验端点=33是否符合题意:注意到并指出,求解
5、f(x1)-f(x2)
6、<
7、x1-x2
8、(或3
9、f(x1)-f(x2)
10、>
11、x1-x2
12、)的恒成立问题,可以当=33时,
13、f(x1)-f(x2)
14、>
15、x1-x2
16、3f(x1)-f(x2)x1+x233x1+x23将转化为f(x),用导数法来求解,设4+22->13x1x2+>33x1-x2x1x2x1x2x1x2导数法求得参数范围为区间D,但必须检验区间Dx1+x23或5x1x2+<33恒成立,由于3x1x2+的端点
17、值是否符合题意,否则容易出错,并以2006x1x2年四川高考题理22的变题作了说明,为便于读者阅x1+x2211>3x1x2+=3x1x2++读,将题目及解答摘录如下:x1x2x1x2x1x2x1x232133题(文[1]例3)已知函数f(x)=2x++∃33(当且仅当x1x2=时等号成立),即3x1x2+x3lnx(x>0),f(x)的导数是f(x),对于任意的两x1+x23>33成立,所以
18、f(x1)-f(x2)
19、>
20、x1-个不等的正数x1、x2,
21、f(x1)-f(x2)
22、>
23、x1-x2
24、x1x23恒成立,求实数的取值范
25、围.x2
26、恒成立,故=33符合题意.3解设g(x)=f(x)=4x-1,g(x)=综上,的取值范围是!33.(摘录完)2+xx反思上述解法,总感觉美中不足,因为在检验2g(x1)-g(x2)34+3-2,由题意>1,由
27、g(x)=33是否符合题意时却另起炉灶,采用基本不等xxx1-x2式法,检验过程不轻松,而且不容易想到,那么是否213
28、>1得,4+3-2>1,以x替换x,则有
29、2x有一种融解答与检验为一体的导数解法呢?要回答xx2这个问题,关键得弄清如下实质问题:何时曲线的割-x+4
30、>1对任意的x>0恒成立.线斜
31、率的取值范围等于切线斜率的取值范围,即P当!0时,显然符合题意;32=Q?何时PQ,且Q比P多了区间P的端点值?∀当>0时,令h(x)=2x-x+4(x>2这些端点值究竟是何值?曲线C上与这些端点值对0),显然h(x)的图象经过(0,4),h(x)=6x-应点的位置在哪里?本文对这些问题作深度探析,作12x,由h(x)<0得h(x)在0,上递减,由为文[1]的补充.32结论构建1h(x)>0得h(x)在,+#上递增,所以3定理设y=f(x)是定义在连通开区间I(I!113R)上的二阶可导函数,其对应曲线C上任意两点的h
32、(x)min=h()=-+4.327连线(称为割线)斜率的取值集合为P,曲线C上任3若h(x)min!0,则
33、h(x)
34、min=0,此时
35、2x-意一点处的切线斜率的取值集合为Q,则有:2x+4
36、>1对任意的x>0不能恒成立,故必有(1)P!Q;21ZHONGXUESHUXUEZAZHI中学数学杂志2010年第11期(2)当曲线C不存在拐点时,P=Q;在与l平行的割线,也即平行于拐点(x0,f(x0))处(3)PQ的充要条件是曲线C存在这样的拐切线的任意直线与曲线C至多有一个交点,必要性点,使得平行于该
37、拐点处切线的任意直线与曲线C成立.至多有一个交点;(4)由(3)的证明易知结论成立.(4)在(3)的前提下,设所有这样的拐点处的由上述定理可知,对于二阶可导曲线C:y=切线的斜率组成集合S,则∀QP=S.f(x)有:∋当且仅当曲线C不存在拐点,或对曲线C证明定理前先介绍曲线凸性和拐点有关的两个的每一个拐点,都存在平行于该拐点处切线的直线引理(见文[2]):与曲线C至少有两个交点时,P=Q;(可导曲线C:引理1函数y=f(x)在(a,b)内二阶可导,则y=f(x)的切线斜率的取值区间Q至多比割线斜率曲线y=f(x)在(a,b)内向上凸(向下
38、凸)的充要的取值区间P多了区间P的端点值,这些端点值就条件是:对一切x%(a,b)有f&(x)!0(∃0),而且是定理的结论(3)条件中的拐点处切线的斜率,即在(a,b)的任何子
