【青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式基本定义及其应用试题（含答案）

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1、二次根式基本定义及其应用一、二次根式的定义一般地,我们把形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,才有意义.注意:在二次根式中,被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,,等是二次根式,而,等都不是二次根式.二、二次根式的判定二次根式必具备条件含有二次根号如:不是二次根式；是二次根式；不是二次根式；特别注意是二次根式.被开方数大于等于0三、二次根式有意义的条件1、单独的二次根式:被开方数大于等于0,如,等；2、含有分母的二次根式:被开方数大于等于0,分母不等于0,二者要综合考虑,如:；3、二

2、次根式永远有意义:被开方数为完全平方加正数,如.总结:1、二次根式与分式、函数结合讨论未知数有意义的问题为中考必考内容；2、所有的二次根式计算至最后都要化成最简二次根式.　　例题1已知,y＝＋,且x、y均为整数,求x＋y的值.解析:先求出x的取值范围,再根据x,y均为整数,可得x的值,再分情况得到x＋y的值.答案:由题意知:20≤x≤30,又因为x,y均为整数,所以x－20,30－x均需是一个整数的平方,因而x只可以取21或29,当x＝21时,y＝4,x＋y的值为25；当x＝29时,y＝4,x＋y的值为33.故x＋y的值为25或33.点拨:考查了二次根式的定义,解题的难点是根据x、y均

3、为整数,得到x－20,30－x均需是一个整数的平方.例题2已知点P（x,y）在函数y＝的图象上,那么点P应在平面直角坐标系中的（　　）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限解析:因为分式有意义的条件是分母不等于0；二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.从而可以得到x＜0,由x2＞0,可以得到＞0,∴y＞0,即可求出点P所在的象限.答案:∵,∴x＜0；又∵x＜0,∴＞0,即y＞0∴P应在平面直角坐标系中的第二象限.故选B.点拨:考查了分式和二次根式有意义的条件,难点是判断出所求的点的横、纵坐标的符号.估算二次根式的值根据提示的方法估算二次根式的大概取值.例题阅读材料:学习

4、了无理数后,某数学兴趣小组开展了一次探究活动:估算的近似值.小明的方法:∵＜＜,设＝3＋k（0＜k＜1）.∴（）2＝（3＋k）2.∴13＝9＋6k＋k2.∴13≈9＋6k,解得k≈.∴≈3＋≈3、67.问题:（1）请你依照小明的方法,估算的近似值；（2）请结合上述具体实例,概括出估算的公式:已知非负整数a、b、m,若a＜＜a＋1,且m＝a2＋b,则≈（用含a、b的代数式表示）；（3）请用（2）中的结论估算的近似值.解析:（1）根据题目信息,找出41前后的两个平方数,从而确定出＝6＋k（0＜k＜1）,再根据题目信息近似求解即可；（2）根据题目提供的求法,先求出k值,然后再加上a即可；（3

5、）把a换成6,b换成1代入公式进行计算即可得解.答案:（1）∵＜＜,设＝6＋k（0＜k＜1）,∴（）2＝（6＋k）2,∴41＝36＋12k＋k2,∴41≈36＋12k.解得k≈,∴≈6＋≈6＋0、42＝6、42；（2）设＝a＋k（0＜k＜1）,∴m＝a2＋2ak＋k2≈a2＋2ak,∵m＝a2＋b,∴a2＋2ak≈a2＋b,解得k≈,∴≈a＋；（3）,依据（2）中结论,,∴≈6＋≈6、08.求最值问题利用因式分解及二次根式的定义,被开方数是非负数,求最值.例题若是整数,则整数k的最小正整数值为.解析:设,则k2－a2＝2008,（k＋a）（k－a）＝2008,即k＋a与k－a是2008

6、的因数,确定2008的因数,即可求得k,a的值,即可确定k的整数值.答案:设,则k2－a2＝2008,（k＋a）（k－a）＝2008＝1×2008＝2×1004＝4×502＝8×251分别求出k值,则或或或.解得:（舍去）,或或（舍去）.则k的最小正整数值是:253.故答案是:253.（答题时间:45分钟）一、选择题1、已知n是一个正整数,是整数,则n的最小值是（　　）A、3B、5C、15D、252、下列说法错误的是（　　）A、零和负数没有算术平方根B、是一个非负数,也是二次根式C、的最小值是4D、的值一定是0*3、下列根式中最简二次根式的个数有:2,,,,,,（　　）A、2个B、3个

7、C、4个D、5个**4、若实数x使代数式有意义,则x的取值范围是（）x≥1且x≠2.A、x≥－1B、x≥1C、x≥－1且x≠2D、x≥1且x≠2**5、观察下列各式:2×＝；3×＝；4×＝；…依此类推,则第四个式子是哪个？用n（n≥2）的等式表达你所观察得到的规律应是（）.A、、＝B、、n×＝C、、n×＝D、、n×＝二、填空题:*6、已知化简后的二次根式与是同类二次根式,则x＋y＝________.*7、已知＋＝y＋4,n＋是整数,则正整数n的