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1、二次根式的化简及运算【重虐难虐易错点点点蒂通】一、二次根式基本运算二次根式的乘除法1.积的算术平方根的性哼：枳的算术平方根，等•于积中各弓式的算术平方根的积。y/ah=[a•4h（a^O,b20）2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积，等于号两个因式积的算术平方根。[a•4b=[ah.（a>0,bMO）3.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。汁#"O'b>0）4.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。a（心0,b>0）二次根式的加减法需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同
2、的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。类似于合并同类项。化简步骤：（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都化成质因数（或因式）的幕,的积的形式；（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外,其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；（3）“三化”，即化「去被开方数中的分母。二、二次根式的乘方1.将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（2侖）$时，先将2乘方，再将巧乘方，结果再相乘；2.多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。总结
3、：1.乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虎被开方数的取值范围"，最后把运算结果化成最简二次根式；2.对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。【頁卷难卷名校題卷鬆经典】例题1己知/b,c,d,e五个实数的平均值为k,各数与k的差如下表:abcdeX1一J27V12£（1）除实数a外，与k的差的绝对值最大的实数是:（2）求x的值。解析：（1）直接求b、c、d、e与k的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，a—k=x,
4、b—k=—-,c—k=—3V3»d—k=2V3,e—k=,又有,a+b+c+d+e33=5k,可求k的值。答案：解：(1)V
5、b-k
6、=
7、-=2羽,
8、e—k
9、=・・・与k的差的绝对值最大的实数是c；(2)依题意，得a—k=x,b—.k=—,c—k=—3馆，d—k=2V3,e—k=,33五式相加，得a+b+c+d+e—5k=x—，又有a+b+c+d+e=5k,所以x_羽=0,即x=V3o例题2设血=a,.V3=b,用含a,b的式子表示J両，则下列表示正确的是（）A.0.3abB.3abC.0.lab2D.0.la2b解析：先把J両化为血、盯的形式，再把a、b代入计算即可
10、。答案：解：TJ0.54=『0.09x2x3=0.3近•也，迈=a,V3=b,/.V0.54=0.3abo故选A。点拨：此题主要考查二次根式的化简，应化简到被开方数开不尽为止。【拓展总结+程升繭分必读】有条件的根式求值利用已知条件进行二次根式的运算，关键是对所给条件进行适当的变形，条件的变形没有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形。例题已知x、y为正数，且J7（y[x+J7）=3J7（a/x+5“）'求x^^xy-y的值。解析：要求代数式的值，首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理己知条件,设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可。答案
11、：由已知条件得X—2—15y=0o/.（J7+3J亍）（^[x—5^j~y）=0,VVx+377>0,・•・長_5五=0,・*.yfx=5yj~y,x=25y,.2x+7^+3y_50y+5y+3y_5Sy_ox+yjxy-y25y+5y-y29y赋予新定义解决赋了一个新的运算定义的一类题，关键是理解新定义运算的含义，「继而进行综合运算。例题若a+b=2,则称a与b是关于1的平衡数。(1)3与是关于1的平衡数，5-V2与是关于1的平衡数；(2)若(m+V3)X(1—V3)=—5+3V3，判断m+r^3与5—V3是否是关于1的平衡数，并说明理由。解析：(1)根据所给的例
12、子，可得出平衡数的求法「，由此可得出答案；(2)根据所给的等式「，解出m的值，进而再代入判断即可。答案：(1)由题意得，3+(-1)=2,5-V2+(-3+V2)=2,・・.3与一1是关于1的平衡数，5-V2与一3+血是关于1的平衡数。(2)不是…理由如下：*.*(m+V3)X(1—^3)=山一V3m+V3—3,乂T(m+V3)X(1—V3)=—5+3V^，・：m—V3V3—3=—5,+3V3»m—y[3m=—2+2y/3。即m(1—V3)=—2(1—V3)，・*.m=—2o•I(m+^3)+(5—eV3)—(—2+V3)+(5—V3)=3・・・(m
